4和歌山県立医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

直線$y=ax$と直交し原点を通る直線は$x+ay=0$である（$a=0$のときは$x=0$となる）。折れ線上で$y=ax$と交わる点を$P$，$x+ay=0$と交わる点を$Q$とする。各辺の方程式を用いると$$\displaystyle P=\begin{cases}\left(\dfrac{3}{2a-1},\dfrac{3a}{2a-1}\right)&(-1\le a\le0),\\\left(-\dfrac{3}{a+1},-\dfrac{3a}{a+1}\right)&(0\le a\le\tfrac12),\end{cases}\qquad Q=\begin{cases}\left(\dfrac{3a}{1-a},-\dfrac{3}{1-a}\right)&(-1\le a\le-\tfrac12),\\(2a,-2)&(-\tfrac12\le a\le\tfrac12).\end{cases}$$前者では$P$は辺$AB$または$BC$上，後者では$Q$は辺$BC$または$CD$上にある。

(1) 各場合で，原点$O$からの三角形に分け，座標と底辺・高さから面積を求める。$A=(-1,1),B=(-3,0),C=(-1,-2),D=(1,-2)$とする。$\displaystyle -1\le a\le-\tfrac12$では領域は$O,P,B,Q$を頂点とし，$$\displaystyle S=\frac12(3y_P-3y_Q)=\frac32\left(\frac{3a}{2a-1}+\frac{3}{1-a}\right)=\frac92\left(\frac{a}{2a-1}+\frac{1}{1-a}\right).$$$\displaystyle -\tfrac12\le a\le0$では領域を三角形$OPB,OBC,OCQ$に分けられる。各面積は$\displaystyle \frac32y_P,3,1+2a$なので$$\displaystyle S=\frac32\cdot\frac{3a}{2a-1}+3+(1+2a)=4+2a+\frac{9a}{2(2a-1)}.$$$\displaystyle 0\le a\le\tfrac12$では領域を三角形$OPC,OCQ$に分ける。座標からその面積の2倍はそれぞれ$\displaystyle \frac{3(2-a)}{a+1}$と$2+4a$であるから$$\displaystyle S=\frac12\left(\frac{3(2-a)}{a+1}+2+4a\right).$$三つの式は$\displaystyle a=-\tfrac12,0$でそれぞれ一致する。

(2) 第1区間で$u=1-a$とおくと$\displaystyle \tfrac32\le u\le2$であり，$$\displaystyle S=\frac92\left(\frac{u-1}{2u-1}+\frac1u\right).$$括弧内を$g(u)$とする。$\displaystyle \tfrac32\le u_1<u_2\le2$なら$$\displaystyle g(u_2)-g(u_1)=(u_2-u_1)\left(\frac1{(2u_2-1)(2u_1-1)}-\frac1{u_1u_2}\right)<0,$$なぜなら$u_i>1$より$(2u_2-1)(2u_1-1)>u_1u_2$だからである。よってこの区間で$S$は$a$とともに増加し，$\displaystyle \frac{15}{4}\le S\le\frac{33}{8}$である。

第2区間で$t=1-2a$とおくと$1\le t\le2$であり，$$\displaystyle S=\frac{29}{4}-t-\frac{9}{4t}.$$相加平均・相乗平均より$\displaystyle t+\frac{9}{4t}\ge3$で，等号は$\displaystyle t=\tfrac32$，すなわち$\displaystyle a=-\tfrac14$のときに成り立つ。したがって$\displaystyle S\le\frac{17}{4}$である。また$$\displaystyle S-4=\frac{(9-4t)(t-1)}{4t}\ge0$$だからこの区間では$S\ge4$でもある。

第3区間で$u=a+1$とおくと$\displaystyle 1\le u\le\tfrac32$であり，$$\displaystyle S=2u-\frac52+\frac{9}{2u}.$$$\displaystyle 1\le u_1<u_2\le\tfrac32$なら$$\displaystyle S(u_2)-S(u_1)=(u_2-u_1)\left(2-\frac{9}{2u_1u_2}\right)\le0,$$なぜなら$\displaystyle u_1u_2\le\frac94$だからである。よってこの区間で$S$は減少し，$\displaystyle \frac72\le S\le4$である。以上より全体の最大値は$\displaystyle \frac{17}{4}$（$\displaystyle a=-\frac14$），最小値は$\displaystyle \frac72$（$\displaystyle a=\frac12$）である。