6筑波大学 2022年 数学 第6問解答・解説

・ $\alpha\ne1$ とし、$\alpha-1=u+iv$ とおくと $u^2+v^2>0$ で $$\displaystyle \frac1{\alpha-1}=\frac{u-iv}{u^2+v^2},\qquad \operatorname{Im}\frac1{\alpha-1}=-\frac{\operatorname{Im}\alpha}{|\alpha-1|^2}.$$ 分母は正なので、$\operatorname{Im}\alpha>0$ であることと $\operatorname{Im}(1/(\alpha-1))<0$ であることは同値。

・ $z=x+iy$（$y>0$）とおくと $B-A=-iz=y-ix\ne0$、$C-A=z^2-1=(x^2-y^2-1)+2xyi$。従って三点が一直線上にある条件は $$\operatorname{Im}\{\overline{(B-A)}(C-A)\}=0.$$ 成分を計算すると $$\operatorname{Im}\{(y+ix)((x^2-y^2-1)+2xyi)\}=x(x^2+y^2-1).$$ ゆえに $x=0$ または $x^2+y^2=1$。条件 $y>0$ を合わせると $$S\text{ に属する条件は }y>0\quad\text{かつ}\quad\bigl(x=0\ \text{または}\ x^2+y^2=1\bigr).$$ すなわち正の虚軸（原点を除く）と単位円の上半円（実軸上の両端を除く）の和集合であり、両者は $z=i$ で交わる。

・ (1)より $z$ が集合 $S$ に属するなら $\operatorname{Im}w<0$。まず $z=iy\ (y>0)$ なら $$\displaystyle w=\frac1{iy-1}=\frac{-1-iy}{1+y^2},\qquad \left|w+\frac12\right|=\frac12.$$ 逆に $\displaystyle \left|w+\frac12\right|=\frac12,\ \operatorname{Im}w<0$ なら $|w|^2+\operatorname{Re}w=0$ であり、$z=1+1/w$ は $\operatorname{Re}z=0,\operatorname{Im}z>0$。従ってこの部分の像は中心 $-1/2$、半径 $1/2$ の下半円弧である。 次に $|z|=1,\operatorname{Im}z>0$ なら $z=1+1/w$ より $|w+1|=|w|$、従って $\operatorname{Re}w=-1/2$。逆にこの直線上で $\operatorname{Im}w<0$ なら $z=1+1/w$ は $|z|=1,\operatorname{Im}z>0$。よって $w$ の動く範囲はこの下半円弧と直線 $\operatorname{Re}w=-1/2,\operatorname{Im}w<0$ の和集合。 点 $P=-i/\sqrt2$ と円の中心 $O=-1/2$ の距離は $$\displaystyle |P-O|=\sqrt{\frac14+\frac12}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ 半径 $1/2$ の円弧までの最短距離は $\sqrt3/2-1/2=(\sqrt3-1)/2$。最近点 $$\displaystyle w_0=-\frac12+\frac1{\sqrt3}\left(\frac12-\frac{i}{\sqrt2}\right)$$ は下半円弧上にあるので等号が達成される。一方、直線部分までの最短距離は $1/2$（$w=-1/2-i/\sqrt2$ で達成）。$(\sqrt3-1)/2<1/2$ だから全体での最小値は $(\sqrt3-1)/2$。