3筑波大学 2022年 数学 第3問解答・解説

点 $A$ を原点とすると、$B=\vec a$, $D=\vec b$, $C=\vec a+\vec b$である。内分比の定義から、$A_1=t\vec a$, $B_1=\vec a+t\vec b$, $C_1=(1-t)\vec a+\vec b$, $D_1=(1-t)\vec b$。したがって、$\overrightarrow{A_1B_1}=B_1-A_1=(1-t)\vec a+t\vec b$、$\overrightarrow{A_1D_1}=D_1-A_1=-t\vec a+(1-t)\vec b$となり、$p=1-t,q=t,x=-t,y=1-t$である。

また、$\overrightarrow{D_1C_1}=C_1-D_1=(1-t)\vec a+t\vec b=\overrightarrow{A_1B_1}$、$\overrightarrow{B_1C_1}=C_1-B_1=-t\vec a+(1-t)\vec b=\overrightarrow{A_1D_1}$である。向かい合う2組の辺のベクトルがそれぞれ等しいので、$A_1B_1C_1D_1$は平行四辺形である。

$s=1-t$とおき、各段階の辺ベクトルを$U_k=\overrightarrow{A_kB_k}$, $V_k=\overrightarrow{A_kD_k}$とする。分割の定義から$U_{k+1}=sU_k+tV_k,\ V_{k+1}=-tU_k+sV_k$。これを2回適用すると、$U_1=s\vec a+t\vec b$, $V_1=-t\vec a+s\vec b$, $U_2=(s^2-t^2)\vec a+2st\vec b$, $V_2=-2st\vec a+(s^2-t^2)\vec b$となる。さらに$U_3=sU_2+tV_2=s(s^2-3t^2)\vec a+t(3s^2-t^2)\vec b$。平行四辺形$ABCD$が非退化なので$\vec a,\vec b$は一次独立であり、$U_3$が$\vec b$と平行である条件は$s(s^2-3t^2)=0$である。$0<t<1$より$s>0$だから$s=\sqrt3t$、すなわち$1-t=\sqrt3t$。よって$\displaystyle t=\frac1{1+\sqrt3}=\frac{\sqrt3-1}{2}$。このとき$\vec b$の係数は$8t^3>0$で、$U_3$は零ベクトルではないため、確かに$\overrightarrow{AD}$と平行である。