2奈良県立医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{OA}=\vec a$, $\overrightarrow{OB}=\vec b$ とする。まず、$P$ は $OA$ の中点であるから $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac12\vec a.$$ また、$Q$ は $AQ:QB=1:3$ となる内分点なので、内分点の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{3\vec a+\vec b}{1+3}=\frac34\vec a+\frac14\vec b$$ である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} =\left(\frac34-\frac12\right)\vec a+\frac14\vec b =\frac14\vec a+\frac14\vec b.$$ よって、(1) は $\displaystyle \text{ア}=\dfrac14$, $\displaystyle \text{イ}=\dfrac14$ である。

$M$ は $PQ$ の中点だから、位置ベクトルは両端の位置ベクトルの平均となり、 $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}}2 =\frac12\left(\frac12\vec a+\frac34\vec a+\frac14\vec b\right) =\frac58\vec a+\frac18\vec b.$$ よって、(2) は $\displaystyle \text{ウ}=\dfrac58$, $\displaystyle \text{エ}=\dfrac18$ である。

直線 $AM$ 上の点を、実数 $t$ を用いて $$\displaystyle \overrightarrow{OR}=\vec a+t\left(\overrightarrow{OM}-\vec a\right) =\left(1-\frac{3t}{8}\right)\vec a+\frac{t}{8}\vec b$$ と表す。$R$ は直線 $OB$ 上にもあるので、$\overrightarrow{OR}$ の $\vec a$ の係数は $0$ でなければならない。三角形 $OAB$ は退化していないから $\vec a,\vec b$ は一次独立であり、係数を比較できる。したがって $$\displaystyle 1-\frac{3t}{8}=0\quad\text{より}\quad t=\frac83, \qquad \overrightarrow{OR}=\frac{t}{8}\vec b=\frac13\vec b.$$ よって、(3) は $\displaystyle \text{オ}=\dfrac13$ である。

最後に、$\overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{OM}$ および各点の位置ベクトルから $$\displaystyle \overrightarrow{MO}=-\frac58\vec a-\frac18\vec b,\quad \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=\frac38\vec a-\frac18\vec b,\quad \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=-\frac58\vec a+\frac78\vec b$$ を得る。これらを $\overrightarrow{MO}+\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\vec0$ に代入し、$\vec a,\vec b$ の係数をそれぞれ比較すると $$-5+3\alpha-5\beta=0,\qquad -1-\alpha+7\beta=0.$$ 第2式から $\alpha=7\beta-1$ である。これを第1式に代入して $$\displaystyle 21\beta-3-5\beta=5\quad\text{より}\quad16\beta=8\quad\text{より}\quad\beta=\frac12,$$ よって $\displaystyle \alpha=\frac52$ となる。実際、$\displaystyle -5+3\cdot\frac52-5\cdot\frac12=0$、$\displaystyle -1-\frac52+7\cdot\frac12=0$ であり、係数の両方が $0$ となることを確認できる。したがって (4) は $\displaystyle \text{カ}=\dfrac52$, $\displaystyle \text{キ}=\dfrac12$ である。