3奈良県立医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$F(x)=x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6$ とすると $$F'(x)=5x^4-8x^3+9x^2-8x+5,\qquad F''(x)=20x^3-24x^2+18x-8.$$ よって $$\begin{aligned} T_4(F(x))&=xF''(x)-4F'(x)\\ &=(20x^4-24x^3+18x^2-8x) -(20x^4-32x^3+36x^2-32x+20)\\ &=8x^3-18x^2+24x-20. \end{aligned}$$

(2) $\displaystyle F(x)=\sum\limits _{j=0}^{5}a_jx^j$（$a_j\text{ は整数}$）とおく。各項について $$T_2(a_jx^j)=a_j\{j(j-1)-2j\}x^{j-1}=j(j-3)a_jx^{j-1}$$ である（$j=0$ の項は微分で消える）。したがって $$T_2(F(x))=-2a_1-2a_2x+4a_4x^3+10a_5x^4.$$ 異なる次数の項どうしは打ち消し合わないので、これが零多項式となるための必要十分条件は $a_1=a_2=a_4=a_5=0$ である。$a_0,a_3$ は任意の整数でよい。従って求める集合は $$\{a_3x^3+a_0\mid a_0,a_3\text{ は整数}\}$$ である。

(3) 次の集合をとる。 $$B=\{-3b x^2-4c x\mid b,c\text{ は整数}\}.$$ この各要素は整数係数で次数が2以下なので $A$ の要素であり、$B\subset A$ である。$F(x)=-3b x^2-4c x\in B$ に対して $$F'(x)=-6b x-4c,\qquad F''(x)=-6b,$$ ゆえに $$T_3(F(x))=x(-6b)-3(-6b x-4c)=12b x+12c.$$ したがって $T_3$ による $B$ の像は $\{12b x+12c\mid b,c\text{ は整数}\}$ に含まれる。また任意の整数 $b,c$ に対し $-3b x^2-4c x\in B$ があり、その像はちょうど $12b x+12c$ であるから、像は指定された集合全体と一致する。