4奈良県立医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

6個の数字はすべて異なり、先頭にも0はないので、作れる整数の個数は $$6!=720$$ 通りである。各数字は各位に同じ回数だけ現れる。ある1つの位を固定すると、指定した数字をその位に置いた残り5個の並べ方は $5!=120$ 通りである。したがって全数の和は $$120(1+2+3+4+8+9)(100000+10000+1000+100+10+1) =120\cdot27\cdot111111 =3240\cdot111111.$$ よって $\text{ア}=720$, $\text{イ}=3240$ である。

2の倍数となるためには一の位が偶数であればよい。一の位には $2,4,8$ の3通りがあり、残り5個の数字の並べ方はそれぞれ $5!$ 通りだから、個数は $$3\cdot5!=360.$$ よって $\text{ウ}=360$ である。

4の倍数かどうかは下2桁で決まる。与えられた数字を重複なく使って作れる4の倍数の下2桁は $$12,\ 24,\ 28,\ 32,\ 48,\ 84,\ 92$$ の7通りである。それぞれについて残り4個の数字を上位4桁に並べる方法は $4!$ 通りなので、個数は $$7\cdot4!=168.$$ よって $\text{エ}=168$ である。

各数字の和は $1+2+3+4+8+9=27$ で9の倍数である。したがって、これらの数字を並べてできる整数はすべて9の倍数であり、その個数は全体と同じ $720$ 個である。よって $\text{オ}=720$ である。

11の倍数の判定では、6桁の整数の奇数番目の位の数字の和と偶数番目の位の数字の和との差が11の倍数となる。これは $10\equiv-1\pmod{11}$ から各位の係数が交互に $1,-1$ となることによる。左から奇数番目の位に置かれる3数字の和を $S$ とすると、偶数番目の位に置かれる数字の和は $27-S$ なので、差は $$S-(27-S)=2S-27.$$ 3数字の和は最小でも $1+2+3=6$、最大でも $4+8+9=21$ だから、差の範囲は $-15$ から $15$ である。この範囲にある11の倍数は $-11,0,11$ だけである。差が $-11$ または $11$ となるには、それぞれ $S=8$ または $S=19$ が必要である（差が0となるには $S=27/2$ が必要だが、$S$ は整数なので不可能）。与えられた数字から和が8となる3数字は $1,3,4$、和が19となる3数字は $2,8,9$ である。

いずれの場合も、選んだ3数字を奇数番目の位に並べる方法は $3!$ 通り、残りを偶数番目の位に並べる方法も $3!$ 通りである。2つの場合は奇数番目の数字の組が異なるので重複せず、求める個数は $$2\cdot3!\cdot3!=72.$$ よって $\text{カ}=72$ である。