5奈良県立医科大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(1) 差の平方の公式を繰り返し用いると $$\begin{aligned} x^{16}-1&=(x^8-1)(x^8+1)\\ &=(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)\\ &=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)\\ &=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1). \end{aligned}$$

(2) $k=m-n$ とおくと、仮定 $m>n$ より $k$ は正整数である。また $X=a^{2^n}$ とおけば、指数法則から $$a^{2^m}=a^{2^{n+k}}=(a^{2^n})^{2^k}=X^{2^k}.$$ 差の平方の公式を繰り返すと $$\displaystyle X^{2^k}-1=(X-1)\prod\limits _{j=0}^{k-1}(X^{2^j}+1).$$ この積には因数 $X+1$ が含まれる（$k=1$ の場合も最初の二因数に含まれる）。したがって $X+1=a^{2^n}+1$ は $X^{2^k}-1=a^{2^m}-1$ を割り切る。

(3) $d$ は $a^{2^m}+1$ と $a^{2^n}+1$ の最大公約数である。(2)より $a^{2^n}+1$ は $a^{2^m}-1$ を割り切るので、$d$ は $a^{2^m}-1$ と $a^{2^m}+1$ の両方を割り切る。よってその差 $$(a^{2^m}+1)-(a^{2^m}-1)=2$$ も割り切り、$d\mid2$ である。

$a$ が偶数なら、$a^{2^m}+1$ と $a^{2^n}+1$ はともに奇数だから $d$ は奇数である。2の正の約数のうち奇数なのは1だけなので $d=1$ となる。$a$ が奇数なら、両方の数は偶数だから $d$ は偶数である。2の正の約数で偶数なのは2だけなので $d=2$ となる。