1奈良県立医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$a,b>0$ であり、定義域は $x>0$ である。したがって $ax>0$ かつ $f(x)=(ax)^{-bx}>0$ なので、両辺の自然対数をとることができる。 $$\log f(x)=\log\{(ax)^{-bx}\}=-bx\log(ax).$$ よって、アは $-bx\log(ax)$ である。左辺を微分すると、合成関数の微分法から $$\displaystyle (\log f(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}$$ となるので、イは $\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ である。また、$x>0$ だから $$\displaystyle \{\log(ax)\}'=\frac{a}{ax}=\frac1x$$ であり、積の微分法を用いると $$\displaystyle \{-bx\log(ax)\}'=-b\{\log(ax)+x\cdot\tfrac1x\}=-b\{\log(ax)+1\}.$$ したがって、ウは $-b\{\log(ax)+1\}$ である。両辺の導関数を等しいとおき、$f(x)>0$ を用いて整理すると $$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=-b\{\log(ax)+1\},\qquad f'(x)=-b\{\log(ax)+1\}f(x),$$ ゆえにエは $-b\{\log(ax)+1\}f(x)$ となる。 $b>0$ および $f(x)>0$ より、$f'(x)>0$ となるのは $\log(ax)<-1$、すなわち $0<x<1/(ae)$ のときであり、$f'(x)<0$ となるのは $x>1/(ae)$ のときである。ここで $\log(ax)=-1$ は $ax=e^{-1}$ と同値なので、導関数の符号は $x=1/(ae)$ の前で正、後で負に変わる。したがって、$f(x)$ は $x=1/(ae)$ で最大となり、オは $1/(ae)$ である。 そのとき $$\displaystyle f\!\left(\frac1{ae}\right)=\left(\frac1e\right)^{-b/(ae)}=e^{b/(ae)},$$ よってカは $e^{b/(ae)}$ である。この値は、得られた $x$ を元の式に代入して直接確かめられる。