2大阪医科薬科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) $g(t)=e^t-t-1$ とおくと、$t\ge0$ で $g'(t)=e^t-1\ge0$ だから $e^t-t\ge1$。次に $F(t)=e^t-t^2/2$ とおけば $$F'(t)=e^t-t\ge1>0.$$ 従って $F(t)\ge F(0)=1>0$、すなわち $t^2/2<e^t$ である。

(2) $f(x)=(x^2-1)e^{-x^2}$ とおく。微分すると $$f'(x)=2x(2-x^2)e^{-x^2}.$$ よって $x=-\sqrt2,0,\sqrt2$ で停留し、増減は $$\begin{array}{c|cccc}x\text{ の範囲}&x<-\sqrt2&-\sqrt2<x<0&0<x<\sqrt2&\sqrt2<x\\\hline f(x)\text{ の増減}&\nearrow&\searrow&\nearrow&\searrow\end{array}$$ また $f(0)=-1$、$f(\pm\sqrt2)=e^{-2}$、 $\displaystyle \lim\limits _{x\to\pm\infty}f(x)=0$（正側から）である。したがって左右対称な2つの山の頂点の高さは $e^{-2}$、中央の谷の底は $-1$ であり、水平線との交点数は $$N(c)=\begin{cases} 0 &(c<-1\text{ または }c>e^{-2}),\\ 1 &(c=-1),\\ 2 &(-1<c\le0\text{ または }c=e^{-2}),\\ 4 &(0<c<e^{-2}). \end{cases}$$ $c=0$ では $x=\pm1$、$c=-1$ では $x=0$、$c=e^{-2}$ では $x=\pm\sqrt2$ が交点であり、境界値もこの数え方に含まれる。