1大阪大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) 積分の下端について微分すると、$$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_x^b e^{-t^2/2}\,dt=-e^{-x^2/2}$$ である。また、$$\displaystyle \begin{aligned}\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^2+1}e^{-x^2/2}\right)&=e^{-x^2/2}\left(\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}-\frac{x^2}{x^2+1}\right)\\&=e^{-x^2/2}\frac{1-2x^2-x^4}{(x^2+1)^2}.\end{aligned}$$ よって、$$\displaystyle f'(x)=e^{-x^2/2}\left(-1-\frac{1-2x^2-x^4}{(x^2+1)^2}\right)=-\frac{2e^{-x^2/2}}{(x^2+1)^2}<0$$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。したがって、$f(x)$ は実数全体で減少する。

(2) $\displaystyle h(t)=\dfrac{t}{t^2+1}e^{-t^2/2}$ とおく。微分すると、$$\displaystyle \begin{aligned}h'(t)&=e^{-t^2/2}\left(\frac{1-t^2}{(t^2+1)^2}-\frac{t^2}{t^2+1}\right)\\&=-e^{-t^2/2}+\frac{2e^{-t^2/2}}{(t^2+1)^2}.\end{aligned}$$ したがって、微積分の基本定理より$$\displaystyle h(a)-h(b)=\int_a^b e^{-t^2/2}\,dt-2\int_a^b\frac{e^{-t^2/2}}{(t^2+1)^2}\,dt\leq\int_a^b e^{-t^2/2}\,dt,$$ となる。ここで第2項の積分は被積分関数が正なので非負である。また、$t\geq a>0$ ならば $t^2\geq a^2$ であり、指数関数の増減から $e^{-t^2/2}\leq e^{-a^2/2}$ である。よって$$\displaystyle \int_a^b e^{-t^2/2}\,dt\leq\int_a^b e^{-a^2/2}\,dt=e^{-a^2/2}(b-a).$$ (3) $1\leq t\leq2$ で $e^{-nt^2/2}\leq e^{-n/2}$ だから$$I_n\leq e^{-n/2}.$$ 一方、$\displaystyle 1\leq t\leq1+\dfrac1{n+1}$ では $\displaystyle t\leq1+\dfrac1{n+1}$ であり、この区間の長さは $\displaystyle \dfrac1{n+1}$ である。したがって$$\displaystyle I_n\geq\int_1^{1+1/(n+1)}e^{-nt^2/2}\,dt\geq\frac1{n+1}\exp\left(-\frac n2\left(1+\frac1{n+1}\right)^2\right).$$ これらは正の不等式なので自然対数をとって $n$ で割ると、$$\displaystyle -\frac12\left(1+\frac1{n+1}\right)^2-\frac{\log(n+1)}n\leq\frac1n\log I_n\leq-\frac12.$$ 仮定された $\displaystyle \dfrac{\log(n+1)}n\to0$ を用いれば、はさみうちの原理から$$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\log I_n=-\frac12}.$$