4島根大学 2019年 数学 第4問解答・解説

問題文では，関数 $f$ の連続性が明記されていない。積分の等式だけから $f(x)$ を各点で一意に定めることはできないため，まずその点を明らかにし，連続性を仮定した場合の解答も示す。

(1) $F(x)=(\log x)^2-2\log x-8$ とおく。$f$ が連続なら，微分積分学の基本定理により $$\displaystyle f(x)=F'(x)=\frac{2\log x-2}{x}=\frac{2(\log x-1)}{x}=:f_0(x)\qquad(x>0)$$ となる。しかし，連続性がなければこの結論は各点での一意性を意味しない。実際，任意の $c>0$ に対し，$f_c(c)=f_0(c)+1$，$f_c(x)=f_0(x)\ (x\ne c)$ と定めると，一点での値の変更はリーマン積分を変えない。したがって，$f_0$ と $f_c$ は同じ積分等式を満たす一方，$f_c(c)\ne f_0(c)$ である。ゆえに，問題文のままでは (1) の点ごとの解は一意に決まらず，連続性を補う場合の答えは $f_0(x)=2(\log x-1)/x$ である。

(2) $x=a$ を代入すると，左辺は $0$ だから $$(\log a)^2-2\log a-8=0, \qquad (\log a-4)(\log a+2)=0.$$ よって必要な値は $a=e^4$ または $a=e^{-2}$ である。いずれも $F(a)=0$ となり，$f=f_0$ とすれば $$\displaystyle \int_a^x f_0(t)\,dt=[(\log t)^2-2\log t]_a^x=(\log x)^2-2\log x-8$$ が成り立つので，両方とも実現する。

(3) $g(x)=\sqrt{x}-\log x$ とおくと $$\displaystyle g'(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}.$$ したがって $g$ は $0<x<4$ で減少し，$x>4$ で増加するから，最小値は $g(4)=2-\log4=2-2\log2$ である。また $$\displaystyle \log2=\int_1^2\frac{dt}{t}<\int_1^2dt=1$$ より $g(4)>0$ であり，すべての $x>0$ について $\log x<\sqrt{x}$ である。

$f=f_0$ と仮定すれば，$x>e$ に対して $$\displaystyle 0<f_0(x)=\frac{2(\log x-1)}{x}<\frac{2\log x}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}\longrightarrow0$$ だから $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f_0(x)=0$ である。しかし，問題文の条件だけでは $f$ の極限も定まらない。例えば正の整数 $n$ でのみ $f_1(n)=f_0(n)+1$ とし，他では $f_1(x)=f_0(x)$ とすると，各有界区間内の有限個の点の変更なので積分等式は変わらない。一方，整数列では $f_1(n)\to1$，$\displaystyle n+\tfrac12$ の列では $\displaystyle f_1(n+\tfrac12)\to0$ となり，$f_1$ の極限は存在しない。従って (3) の不等式は証明できるが，極限値は連続性などを補わない限り決定できない。

(4) 連続性を補い $f=f_0$ とすると $$\displaystyle f_0'(x)=\frac{2(2-\log x)}{x^2},\qquad f_0''(x)=\frac{2(2\log x-5)}{x^3}.$$ よって $f_0$ は $0<x<e^2$ で増加し，$x>e^2$ で減少する。$x=e^2$ で極大かつ最大となり，$f_0(e^2)=2/e^2$ である。$f_0(x)=0$ となるのは $x=e$ である。また $f_0''(x)<0$ は $0<x<e^{5/2}$，$f_0''(x)>0$ は $x>e^{5/2}$ で成り立つため，$x=e^{5/2}$ で凹凸が変わり，変曲点は $$\displaystyle \left(e^{5/2},\frac{3}{e^{5/2}}\right)$$ である。さらに $x\to0+\ (u=1/x\to\infty)$ では $f_0(x)=-2u(\log u+1)\to-\infty$，$x\to\infty$ では $f_0(x)\to0+$ となる。以上より，連続性を仮定した場合の概形は次のとおりである。 $$\begin{array}{c|ccccc} x&0+&&e^2&&\infty\\ \hline f_0'(x)&&+&0&-&\\ \hline f_0(x)&-\infty&\nearrow&2/e^2&\searrow&0+ \end{array}$$ 凹凸は $0<x<e^{5/2}$ で上に凸（$f_0''<0$），$x>e^{5/2}$ で下に凸（$f_0''>0$）である。点 $(e,0)$ を通り，変曲点は上記のとおりで，$y=0$ は $x\to\infty$ における漸近線である。

ただし，連続性がないままでは一点の値を変えても積分等式は保たれ，単調性やグラフも変わり得るため，問題文から (4) のグラフを一意に定めることはできない。