2島根大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) 4桁の整数では千の位に $0$ は置けないので、千の位は $1,2,9$ の3通りである。残りの各位はそれぞれ4通りだから $$3\cdot4^3=192.$$ よって、求める個数は $192$ 個である。

(2) まず、1桁から3桁までの正整数は、各桁数 $r$ について先頭の選び方が3通り、残りの選び方が $4^{r-1}$ 通りなので $$3+3\cdot4+3\cdot4^2=63$$ 個である。4桁で1500未満の数は、千の位が $1$、百の位が $0,1,2$ のいずれかであり、十の位と一の位はそれぞれ4通りだから $$3\cdot4^2=48$$ 個である。これ以外の4桁の数は1500を超え、5桁以上の数も1500を超える。また1500自体は数字5を使うため作れない。したがって1500未満の数は $63+48=111$ 個であり、初めて1500を超える数は小さい方から数えて $$111+1=112$$ 番目である。

(3) 放物線と直線の共有点の $x$ 座標は $$x^2+2(a-c)x+(b-d)=0$$ の実数解である。よって共有点を持つ条件は判別式が0以上、すなわち $$4\bigl((a-c)^2-(b-d)\bigr)\geq0, \qquad b-d\leq(a-c)^2$$ である。

まず $(a,c)$ を選び、$|a-c|$ ごとに条件を満たす $(b,d)$ を数える。$(a,c)$ の組は、$|a-c|=0,1,2$ の場合がそれぞれ4組、4組、2組であり、残る6組では $|a-c|=7,8,9$ である。

$|a-c|=0$ のとき、条件は $b\leq d$ となる。$\{0,1,2,9\}$ から選ぶ順序つきの組 $(b,d)$ のうち $b\leq d$ は、等しい4組と異なる6組を合わせて10組である。

$|a-c|=1$ のとき、条件は $b-d\leq1$ である。全16組のうちこれに反するのは差が2以上の $(b,d)=(2,0),(9,0),(9,1),(9,2)$ の4組だから、条件を満たすのは12組である。

$|a-c|=2$ のとき、条件は $b-d\leq4$ である。これに反するのは $(9,0),(9,1),(9,2)$ の3組だから、条件を満たすのは13組である。

残る $(a,c)$ の6組では $(a-c)^2\geq49$ であり、すべての $(b,d)$ について $b-d\leq9$ だから、各組に対して16通りすべてが条件を満たす。したがって、求める組の総数は $$4\cdot10+4\cdot12+2\cdot13+6\cdot16=40+48+26+96=210.$$ よって $210$ 組である。