3島根大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) 漸化式を代入すると $$a_{n+1}+\alpha b_{n+1} =(1+\alpha)a_n+(1/4+\alpha)b_n.$$ これが $\beta a_n+\alpha\beta b_n$ と一致する条件は $$1+\alpha=\beta,\qquad 1/4+\alpha=\alpha\beta.$$ 実際、これらの係数条件は十分であり、必要性も $(a_1,b_1)=(2,2)$, $(a_2,b_2)=(5/2,4)$ が比例しないことから分かる。 $\beta$ を消去すると $\alpha^2=1/4$。順序の指定に従い $$\boxed{(\alpha_1,\beta_1)=(-1/2,1/2),\quad (\alpha_2,\beta_2)=(1/2,3/2)}.$$

(2) $u_n=a_n-b_n/2$ とおくと、(1) より $u_{n+1}=u_n/2$。 $u_1=2-2/2=1$ なので $$\displaystyle \boxed{a_n-\frac12b_n=\left(\frac12\right)^{n-1}}.$$

(3) 同様に $v_n=a_n+b_n/2$ とおけば、 $v_{n+1}=(3/2)v_n$, $v_1=3$ より $$\displaystyle v_n=3\left(\frac32\right)^{n-1}.$$ $u_n,v_n$ の和と差をとって $$\displaystyle \begin{aligned} a_n&=\frac{u_n+v_n}{2} =\boxed{\left(\frac32\right)^n+\left(\frac12\right)^n},\\ b_n&=v_n-u_n =\boxed{2\left\{\left(\frac32\right)^n-\left(\frac12\right)^n\right\}}. \end{aligned}$$

(4) 内積の成分表示から $$\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC_n} =(1,-1/2)\cdot(a_n,b_n)=a_n-\frac12b_n=u_n.$$ したがって公比 $1/2$ の等比級数として収束し、 $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{n=1}^\infty\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC_n} =\sum\limits _{n=1}^\infty\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac1{1-1/2}=2}.$$ $a_n,b_n$ を別々に無限和にして差をとる必要はない。 組合せ $a_n-b_n/2$ を先に計算することが要点である。