II東北医科薬科大学 2020年 数学 第II問解答・解説

(1) $f(x)=x^2e^{-x}$ とすると $$f\prime(x)=e^{-x}x(2-x).$$ よって $0\le x\le2$ で増加し、$x\ge2$ で減少する。したがって最大値は $f(2)=4e^{-2}$。また $x>0$ では $0\le xe^{-x}=f(x)/x\le4e^{-2}/x$ である。右辺は $x\to\infty$ で0に近づくから、はさみうちにより $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}xe^{-x}=0$。

(2) 部分積分により $$\displaystyle I=-\frac12xe^{-x}\cos x-\frac12xe^{-x}\sin x-\frac12e^{-x}\cos x+C.$$ 実際、右辺を微分すると $xe^{-x}\sin x$ になる。

(3) $r=e^{-\pi}$ とおく。上の原始関数を $F$ とすれば $$\displaystyle F((2n-1)\pi)=\frac{(2n-1)\pi+1}{2}r^{2n-1},\quad F(2(n-1)\pi)=-\frac{2(n-1)\pi+1}{2}r^{2n-2}.$$ したがって $I_n=F((2n-1)\pi)-F(2(n-1)\pi)$。$j=n-1$ として等比級数を足すと $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}I_n =\frac12\left\{\frac{1+(\pi+1)r}{1-r^2}+\frac{2\pi r^2(1+r)}{(1-r^2)^2}\right\} =\frac{1+(\pi-1)r}{2(1-r)^2}.$$ $r=e^{-\pi}$ を戻して $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}I_n=\frac{1+(\pi-1)e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})^2}.$$

(1) f′(x)=e^(−x)x(2−x)。よってfは0≦x≦2の範囲で増加し、x≧2の範囲で減少するから最大値はf(2)=4e^(−2)。またx>0では0≦xe^(−x)=f(x)/x≦4e^(−2)/x→0より、はさみうちでxe^(−x)→0。 (2) 原始関数は F(x)=−(1/2)xe^(−x)cosx−(1/2)xe^(−x)sinx−(1/2)e^(−x)cosx。微分すると xe^(−x)sinx となる。したがって空欄係数は−1/2,1/2,1/2。 (3) r=e^(−π) とおくと、F((2n−1)π)=((2n−1)π+1)r^(2n−1)/2、F(2(n−1)π)=−(2(n−1)π+1)r^(2n−2)/2。ゆえに $I_n$ はそれらの差。等比級数公式 Σr^(2j)=1/(1−r²)、Σjr^(2j)=r²/(1−r²)² を使うと総和は [1+(π−1)r]/[2(1−r)²] となる。