4岐阜大学 2013年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad f_2(x)&=2\int_1^x t\log t\,dt+\frac{x^2-1}{2}\\ &=2\left(\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2-1}{4}\right)+\frac{x^2-1}{2} =x^2\log x.\\[3pt] (2)\quad f_n(x)&=x^n\log x\quad(n\ge1).\\ &\text{帰納法の仮定を用いると}\\ f_{n+1}(x)&=(n+1)\int_1^x t^n\log t\,dt+\frac{x^{n+1}-1}{n+1}\\ &=x^{n+1}\log x-\frac{x^{n+1}-1}{n+1}+\frac{x^{n+1}-1}{n+1} =x^{n+1}\log x.\\[3pt] (3)\quad g(x)&=\begin{cases}-x^2\log x+x-1&(0<x<1),\\x^2\log x-x+1&(x>1),\\0&(x=1),\end{cases}\\ \lim\limits _{x\to1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}&=0, \qquad \lim\limits _{x\to1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=0,\\ g'(1)&=0. \end{aligned}$$ 帰納法の初項は問題の定義 $f_1(x)=x\log x$ と一致する。(3)の左右極限については $h=x-1$ とおくと差分商は $$\displaystyle \begin{cases}-(1+h)^2\dfrac{\log(1+h)}h+1&(h<0),\\(1+h)^2\dfrac{\log(1+h)}h-1&(h>0). \end{cases}$$ 基本極限 $\log(1+h)/h\to1$ よりいずれも0となり、$g'(1)=0$ が従う。

(1) 定義へ$f_1(t)=t\log t$を代入し、部分積分すると $\displaystyle \int_1^x t\log t\,dt=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2-1}{4}$。よって $\displaystyle f_2=2\int_1^x t\log t\,dt+\frac{x^2-1}{2}=x^2\log x$。 (2) (1)から形を推測して $f_n=x^n\log x$ とする。$n=1$で定義通り。仮に $f_n(t)=t^n\log t$ とすると、部分積分で $\displaystyle \int_1^x t^n\log t\,dt=\frac{x^{n+1}\log x}{n+1}-\frac{x^{n+1}-1}{(n+1)^2}$。従って $\displaystyle f_{n+1}=x^{n+1}\log x-\frac{x^{n+1}-1}{n+1}+\frac{x^{n+1}-1}{n+1}=x^{n+1}\log x$。帰納法で成立。 (3) $f_2=x^2\log x$は$x<1$で負、$x>1$で正。従って$x<1$では $g=-x^2\log x+x-1$、$x>1$では $g=x^2\log x-x+1$。両側で$g(1)=0$。左微分係数は $\displaystyle \lim\limits _{x\to1^-}\frac{-x^2\log x+x-1}{x-1}=0$、右微分係数は $\displaystyle \lim\limits _{x\to1^+}\frac{x^2\log x-x+1}{x-1}=0$（例えばロピタルの定理ではなく微分式の連続性から各側の導関数を1に近づければよい）。両側が一致するのでgは微分可能で$g'(1)=0$。