5岐阜大学 2013年 数学 第5問解答・解説

u=$\sqrt2$a とおくと A=$$\begin{pmatrix}2u&b\\-b&-u\end{pmatrix}$$,　 A^2=$$\begin{pmatrix}4u^2-b^2&ub\\-ub&u^2-b^2\end{pmatrix}$$. (1) 非対角成分から bp=ub。b>0 より p=u=$\sqrt2$a. 対角成分から q=2u^2-b^2=4a^2-b^2. b^2=6(1-a^2) より $\boxed{p=\sqrt2a,\quad q=10a^2-6}$.

(2) a=1/$\sqrt2$, b=$\sqrt3$ だから A=$$\begin{pmatrix}2&\sqrt3\\-\sqrt3&-1\end{pmatrix}$$. 直接計算で A^2=A-E, A^3=-E. B=-A とおけば B^3=E,　 B^2+B+E=0. よって $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{100}$(-1)^kA^k=$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{100}$B^k=33(B+B^2+E)+B^{100}=B=$\boxed{-A}$.

(3) A^6=E なので m$\pmod6$ の場合分けで十分。各余り r について A^r(x,y)^T=(-x,0)^T を調べると、 $$\begin{array}{c|c|c}r&\text{条件}&\text{非零解}\\0&x=0,\ y=0&\text{なし}\\1&y=-\sqrt3x&\text{あり}\\2&2x+\sqrt3y=0,\ \sqrt3x+2y=0&\text{なし（係数の積の差 }1\text{）}\\3&y=0&\text{あり}\\4&x+\sqrt3y=0,\ \sqrt3x+y=0&\text{なし（係数の積の差 }-2\text{）}\\5&y=0,\ x=0&\text{なし}\end{array}$$ $\boxed{m\equiv1\text{ または }3\pmod6}$.

$u=\sqrt2a$ とおくと $A=\begin{pmatrix}2u&b\\-b&-u\end{pmatrix}$。$A^2=\begin{pmatrix}4u^2-b^2&ub\\-ub&u^2-b^2\end{pmatrix}$ である。$A^2=pA+qE$ の非対角成分を比較し、$b>0$ から $p=u=\sqrt2a$。対角成分から $q=2u^2-b^2=4a^2-b^2$。条件 $b^2=6(1-a^2)$ により $q=10a^2-6$。(2) では $a=1/\sqrt2$, $b=\sqrt3$ なので $A=\begin{pmatrix}2&\sqrt3\\-\sqrt3&-1\end{pmatrix}$, $A^2=A-E$, $A^3=-E$。$B=-A$ とおけば $B^3=E$ かつ $B+B^2+E=0$。$100=3\cdot33+1$ より $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{100}(-1)^kA^k=\sum\limits _{k=1}^{100}B^k=B$。(3) でも同じ $A$ で $A^6=E$ だから $m$ を6で割った余りを調べればよい。$r=0,2,4,5$ では方程式を成分比較すると $x=y=0$ だけとなる。$r=1$ では $y=-\sqrt3x$ を満たす非零解があり、$r=3$（$A^3=-E$）では $y=0$ として $x\ne0$ を選べる。したがって必要十分条件は $m\equiv1$ または $3\pmod6$。