II横浜市立大学 2009年 数学 第II問解答・解説

$Y=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とおく。成分を比較すると、$YX=A$ より $$pa+qc=9,\quad pb+qd=4,\quad ra+sc=3,\quad rb+sd=2$$ を得る。

まず、$p\ge1$ なら $pa\le pa+qc=9$ だから $a\le9$ である。$p=0$ のときは $qc=9,\ qd=4$ であるから、$q$ は9と4の正の公約数であり、$q=1,\ c=9,\ d=4$ となる。このとき $ra+9s=3$ なので $s=0,\ ra=3$ であり、$a\le3$。いずれの場合も $a\le9$ である。

さらに $c=0$ なら、$pa=9,\ ra=3$ である。したがって $a$ は9と3の正の公約数だから、$a=1$ または $a=3$ である。

次に、両辺を成分で計算すると $$BX=\begin{pmatrix}10a+2c&10b+2d\\2a+c&2b+d\end{pmatrix},\qquad XA=\begin{pmatrix}9a+3b&4a+2b\\9c+3d&4c+2d\end{pmatrix}.$$ よって $BX=XA$ なら、左上成分と右下成分を比較して $$a=3b-2c,\qquad d=2b-4c$$ を得る。逆にこの2式が成り立つとする。右上成分の差は $$(10b+2d)-(4a+2b)=2(4b+d-2a)=0,$$ 左下成分の差は $$(2a+c)-(9c+3d)=2a-8c-3d=0$$ となる。いずれも上の2式を代入した結果である。したがって4成分がすべて一致し、これらは必要十分条件である。

最後に、$YX=A,\ XY=B$ を同時に満たすと仮定する。結合則より $$BX=(XY)X=X(YX)=XA$$ であるから、すでに示した必要条件より $a=3b-2c,\ d=2b-4c$。$d\ge0$ より $b\ge2c$ であり、$t=b-2c$ とおけば $t$ は0以上の整数で、 $$b=t+2c,\qquad a=3t+4c,\qquad d=2t$$ となる。また $YX=A$ から $a\le9$ である。

$c=0$ のときは、(1)で示した条件から $a=1$ または3である。一方 $a=3t$ だから $a=3,\ t=1$ であり、$X=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$。$YX=A$ の左下成分から $3r=3$、右下成分から $r+2s=2$ となるので、$\displaystyle r=1,\ s=\frac12$。これは $s$ が整数であることに反する。

$c\ge1$ のとき、$3t+4c\le9$ を満たす可能性は $(c,t)=(1,0),(1,1),(2,0)$ に限られる。

・ $(c,t)=(1,0)$ なら $X=\begin{pmatrix}4&2\\1&0\end{pmatrix}$。$YX=A$ の右下成分から $2r=2$、左下成分から $4r+s=3$ となり、$r=1,\ s=-1$。$s\ge0$ に反する。

・ $(c,t)=(1,1)$ なら $X=\begin{pmatrix}7&3\\1&2\end{pmatrix}$。$YX=A$ の左上、右上成分から $7p+q=9,\ 3p+2q=4$。前式と $p,q\ge0$ より $p=0$ または1であるが、前者なら右辺左の式の左辺は18、後者なら7となり、いずれも4にならない。

・ $(c,t)=(2,0)$ なら $X=\begin{pmatrix}8&4\\2&0\end{pmatrix}$。$YX=A$ の左上成分は $8p+2q=9$ となるが、左辺は偶数であり矛盾する。

どの場合も矛盾する。したがって、$YX=A$ と $XY=B$ を同時に満たす非負整数行列 $X,Y$ は存在しない。