IV横浜市立大学 2009年 数学 第IV問解答・解説

(1)　 $\phi_i'=a+b\phi_i+c\phi_i^2,\qquad \phi_j'=a+b\phi_j+c\phi_j^2$ より、 $$\phi_i'-\phi_j'=b(\phi_i-\phi_j)+c(\phi_i^2-\phi_j^2)=(\phi_i-\phi_j)\{b+c(\phi_i+\phi_j)\}.$$ 仮定より$\phi_i-\phi_j\ne0$なので、 $$\displaystyle \frac{\phi_i'-\phi_j'}{\phi_i-\phi_j}=b+c(\phi_i+\phi_j).$$

(2)　 複比を$R=(\phi,\phi_1,\phi_2,\phi_3)$とおく。$\phi=\phi_1$ならば$R=0$で一定だから$R'=0$である。以下$\phi\ne\phi_1$とする。このとき各分母および$R$は$J$上で0でない。積・商の微分法から $$\displaystyle \frac{R'}{R}=\frac{\phi'-\phi_1'}{\phi-\phi_1}-\frac{\phi'-\phi_3'}{\phi-\phi_3}+\frac{\phi_2'-\phi_3'}{\phi_2-\phi_3}-\frac{\phi_2'-\phi_1'}{\phi_2-\phi_1}.$$ (1)を各項に用いると、右辺は $$\{b+c(\phi+\phi_1)\}-\{b+c(\phi+\phi_3)\}+\{b+c(\phi_2+\phi_3)\}-\{b+c(\phi_2+\phi_1)\}=0.$$ よって$R'=0$であり、求める等式が成り立つ。

(3)　 (2)より複比は$J$上で一定であり、その値を$K$とする。$A=\phi_2-\phi_1$、$B=\phi_2-\phi_3$とおくと$A\ne0$、$B\ne0$である。複比の定義から $$\displaystyle K=\frac{(\phi-\phi_1)B}{(\phi-\phi_3)A},\qquad KA(\phi-\phi_3)=B(\phi-\phi_1).$$ したがって $$(KA-B)\phi=KA\phi_3-B\phi_1.$$ ここで$KA-B=0$とすると、上式の右辺は$B(\phi_3-\phi_1)\ne0$となって矛盾する。よってこれを割ることができ、 $$\displaystyle \phi=\frac{KA\phi_3-B\phi_1}{KA-B}=\frac{K(\phi_2-\phi_1)\phi_3-(\phi_2-\phi_3)\phi_1}{K(\phi_2-\phi_1)-(\phi_2-\phi_3)}.$$