横浜市立大学 2009年数学第I問解答・解説

二次関数指数関数・対数関数極限積分法場合の数と確率

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1問題

横浜市立大学2009年度第I問

以下の問いに答えよ。ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1) $a,b,c$ は定数で $a>0$ とする。

(ア) 関数 $f(x)=e^{-ax^{2}-bx-c}$ は， $x=\boxed{\mathrm{A}}$ で最大となり，その値は $\boxed{\mathrm{B}}$ となる。

(イ) 公式 $\displaystyle \lim\limits _{T\to\infty}\int_{0}^{T}e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を用いると， $\displaystyle \lim\limits _{R\to\infty}\int_{-R}^{R}f(x)\,dx$ の値は $\boxed{\mathrm{C}}$ となる。

(2) 箱の中にAと書かれたカード，Bと書かれたカード，Cと書かれたカードがそれぞれ4枚ずつ入っている。男性6人，女性6人が箱の中から1枚ずつカードを引く（引いたカードは戻さない）。

(ア) Aと書かれたカードを4枚とも男性が引く確率は $\boxed{\mathrm{D}}$ となる。

(イ) A，B，Cと書かれたカードのうち，少なくとも一種類のカードを4枚とも男性または4枚とも女性が引く確率は $\boxed{\mathrm{E}}$ となる。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)(ア) $\displaystyle \quad A=-\frac{b}{2a}\quad$ , $\quad B=e^{b^2/(4a)-c}\quad$ 。 (1)(イ) $\displaystyle \quad C=\sqrt{\frac\pi a}e^{b^2/(4a)-c}\quad$ 。 (2)(ア) $\displaystyle \quad D=\frac1{33}\quad$ 。 (2)(イ) $\displaystyle \quad E=\frac17\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)(ア) $-ax^2-bx-c=-a(x+b/(2a))^2+b^2/(4a)-c$ 。 $a>0$ より最大点は $x=-b/(2a)$ 、最大値は $e^{b^2/(4a)-c}$ 。

(1)(イ) $u=\sqrt a(x+b/(2a))$ と置くと $\displaystyle \int_{-R}^R f(x)\,dx=\frac{e^{b^2/(4a)-c}}{\sqrt a}\int_{u(-R)}^{u(R)}e^{-u^2}\,du.$ 端点はそれぞれ $-\infty,+\infty$ に向かう。偶関数性と問題文の公式から $C=\sqrt{\pi/a}\,e^{b^2/(4a)-c}$ 。

(2)(ア) 男性が引く6枚の集合は全 $\displaystyle \binom{12}{6}=924$ 通りで等確率。A4枚を含む集合数は $\displaystyle \binom82=28$ なので $D=1/33$ 。

(2)(イ) 男性の各種類の枚数がすべて1,2,3枚なら求める事象が起きない。この組は $(1,2,3)$ の順列6通りと $(2,2,2)$ 。集合数は $\displaystyle 6\binom41\binom42\binom43+\binom42^3=792$ 。よって $E=1-792/924=1/7$ 。

この問題で使う考え方

平方完成
ガウス積分の置換
組合せ計数
余事象

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