III横浜市立大学 2009年 数学 第III問解答・解説

座標を回転し，$A=(0,0),\ B=(a,0)$ とし，$C$ が上側にあるように取る。$\angle B=\theta$ より，$\overrightarrow{BC}$ の向きは正の$x$軸から$\pi-\theta$ であるから，$C=(a-b\cos\theta,\ b\sin\theta)$ である。四角形は凸であり，$C$ での外角は$\pi-\theta$ なので，$\overrightarrow{CD}$ の向きは$2\pi-2\theta$ となる。したがって $$D=(a-b\cos\theta+c\cos2\theta,\ b\sin\theta-c\sin2\theta).$$ $\angle A=\theta$ より$AD$ は正の$x$軸となす角が$\theta$ の半直線である。よって$D$ の座標は$y_D\cos\theta=x_D\sin\theta$ を満たす。これに代入すると $$b\sin\theta\cos\theta-c\sin2\theta\cos\theta=a\sin\theta-b\sin\theta\cos\theta+c\cos2\theta\sin\theta,$$ ゆえに，加法定理から $$c\sin3\theta=\sin\theta(2b\cos\theta-a).$$ ここで$\sin3\theta=\sin\theta(4\cos^2\theta-1)$ だから，$\sin\theta>0$ を用いて $$\displaystyle c=\frac{2b\cos\theta-a}{4\cos^2\theta-1}=\frac{a-2b\cos\theta}{1-4\cos^2\theta}.\tag{1}$$

次に$x=\cos\theta$ とおく。$a>b>0$ および条件$\displaystyle a<\frac{b}{2\cos\theta}$ から $$\displaystyle 0<x<\frac{b}{2a}<\frac12.$$ したがって分母$1-4x^2$ は正であり，(1)は$\displaystyle c=\frac{a-2bx}{1-4x^2}$ と書ける。$s=\sqrt{a^2-b^2}$ とおくと $$\displaystyle c-\frac{a+s}{2}=\frac{a-2bx-\frac{a+s}{2}(1-4x^2)}{1-4x^2}=\frac{2(a+s)\left(x-\frac{b}{2(a+s)}\right)^2}{1-4x^2}\geq0.$$ 等号は$\displaystyle x=\frac{b}{2(a+s)}$ のとき成立する。この値は$\displaystyle 0<\frac{b}{2(a+s)}<\frac{b}{2a}<\frac12$ を満たすので，許される$\theta$ の範囲内で実際に取れる。よって $$\displaystyle \boxed{\min c=\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}}.$$