6東京大学 2000年 数学 第6問解答・解説

(1) 左辺の積を先に計算すると $$\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&c&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&a+c&ab\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ 右辺は $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&x\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&y&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&z\\0&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&y&yz\\0&1&x+z\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ 対応する成分を比べて $y=a+c$, $yz=ab$, $x+z=b$ を得る。したがって $$\displaystyle \boxed{y=a+c,\qquad z=\frac{ab}{a+c},\qquad x=\frac{bc}{a+c}}.$$

(2) $y=t=a+c$ と固定する。$2\le t\le4$ であり、(1)より $x+z=b$ は $1\le x+z\le2$、また $$\displaystyle \frac{z}{x}=\frac{a}{c}.$$ $2\le t\le3$ のとき $1\le a\le t-1$ なので $$\displaystyle \frac1{t-1}\le\frac{z}{x}\le t-1.$$ $3\le t\le4$ のとき $t-2\le a\le2$ なので $$\displaystyle \frac{t-2}{2}\le\frac{z}{x}\le\frac2{t-2}.$$ 平面 $y=t$ 上で $u=x+z$, $q=z/(x+z)$ と置く。傾き $z/x=r$ に対応する比は $q=r/(1+r)$ である。二本の傾きの間で $u\le U$ を満たす部分は、原点と直線 $x+z=U$ 上の2点でできる三角形である。直線上の底辺の長さは $\sqrt2 U(q_+-q_-)$、原点から直線までの高さは $U/\sqrt2$ だから、その面積は $$\displaystyle T(U)=\frac12\cdot\sqrt2 U(q_+-q_-)\cdot\frac{U}{\sqrt2}=\frac{U^2}{2}(q_+-q_-).$$ 求める領域は $u=2$ の三角形から $u=1$ の三角形を除いたものなので、その面積は $$\displaystyle T(2)-T(1)=\frac32(q_+-q_-)=\frac32\left(\frac1{1+r_-}-\frac1{1+r_+}\right).$$ 上の傾きの端を代入すれば切り口面積 $A(t)$ は $$\displaystyle \boxed{A(t)=\begin{cases} 0 &(t<2\text{ または }t>4),\\[2pt] \dfrac{3(t-2)}{2t} &(2\le t\le3),\\[5pt] \dfrac{3(4-t)}{2t} &(3\le t\le4). \end{cases}}$$

(3) 切り口面積を $t$ について積分する。 $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Vol}(K) &=\int_2^3\frac{3(t-2)}{2t}\,dt+\int_3^4\frac{3(4-t)}{2t}\,dt\\ &=\frac32\{1-2\log(3/2)+4\log(4/3)-1\}\\ &=3\log\frac{32}{27}. \end{aligned}$$ よって $\boxed{\operatorname{Vol}(K)=3\log(32/27)}$。

(1) は左右の行列積を実際に計算し、同じ位置の成分を比較する。(2) では固定した y=a+c の下で、a/c が動く範囲を求める。x+z は1から2まで動くので、切り口は二本の傾きの間にある二つの相似三角形の差となる。底辺と高さからその面積を求め、(3) では切り口面積をyの範囲2から4まで積分する。