1東京大学 2000年 数学 第1問解答・解説

AB=ACの直角二等辺三角形なので、直角はAにあり、AB=AC=$\sqrt{2}$である。BCの中点を原点、BCをx軸にとると、A(0,1), B(-1,0), C(1,0)となる。 楕円の中心を(h,k)、BCに平行な半径をr、垂直な半径をs (r,s>0) とする。その点は $x=h+r\cos\theta,\quad y=k+s\sin\theta$ と表せる。BCに接して三角形内にあるため k-s=0、すなわち k=s。三角形の他の辺は y-x=1, y+x=1 であり、楕円がそれぞれに内接する条件は、楕円上の y-x および y+x の最大値が1となることである。三角関数の合成により、これらの最大値は $k-h+\sqrt{r^2+s^2}$ と $k+h+\sqrt{r^2+s^2}$ である。したがって $h=0,\quad s+\sqrt{r^2+s^2}=1$。よって r^2=1-2s で、0<s<1/2。 面積をTとすると $T=\pi rs$ だから、$\displaystyle \frac{T^2}{\pi^2}=s^2(1-2s)$。ここで $\displaystyle \frac1{27}-s^2(1-2s)=\left(s-\frac13\right)^2\left(2s+\frac13\right)\ge0$ なので $\displaystyle T\le\frac{\pi}{3\sqrt3}$。等号は s=1/3, r=1/$\sqrt3$ のとき成立する。このとき k=s=1/3, h=0 で、BCへの接触は k-s=0、他の2辺への接触は s+$\sqrt{r^2+s^2}$=1 により満たされる。ゆえにこの値は実現され、最大値である。

等号の楕円では、辺AB, ACへの接点はそれぞれ$\displaystyle \left(-\frac12,\frac12\right)$, $\displaystyle \left(\frac12,\frac12\right)$、辺BCへの接点は(0,0)である。したがって接点はすべて各辺の線分上にあり、この上限は実際に達成される。