6筑波大学 2007年 数学 第6問解答・解説

直線 $L:y=2x-1$ を $C$ に代入すると $$(1+4a)x^2+(2b-4a)x+(a-b)=0.$$ 仮定より $1+4a\ne0$ なので、$L$ が $C$ に接する条件はこの二次方程式の判別式が0であること。 $$(2b-4a)^2-4(1+4a)(a-b)=4(b^2+b-a)=0.$$ したがって (1) は $a=b^2+b$。

(2) $a>0$ のとき $$\displaystyle x^2+a\left(y+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a}$$ となる。関係式 $a=b(b+1)$ より、これは $b<-1$ または $b>0$ のときで、右辺も正だから楕円である。

$a=0$ なら $b(b+1)=0$。$b=-1$ では $x^2-y=0$ となり放物線、$b=0$ では $x^2=0$ となる退化した二重直線である。

$a<0$ は $-1<b<0$ に対応し、$b\ne0$ なので式を平方完成すれば双曲線となる。ただし仮定 $a\ne-1/4$ により、$b^2+b=-1/4$、すなわち $b=-1/2$ は除く。よって双曲線の場合は $-1<b<-1/2$ または $-1/2<b<0$。

(3) 楕円の場合、(1) の関係を用いると $$\displaystyle x_P=-\frac{2b-4a}{2(1+4a)}=\frac{2a-b}{1+4a} =\frac{b(2b+1)}{(2b+1)^2}=\frac{b}{2b+1}, \qquad y_P=2x_P-1=-\frac1{2b+1}.$$ $b>0$ なら $0<x_P<1/2$、$b<-1$ なら $1/2<x_P<1$。また $y_P=2x_P-1$ なので、接点の範囲は $$y=2x-1,\qquad 0<x<1/2\text{ または }1/2<x<1.$$ 図示は、直線 $y=2x-1$ 上のこの2つの開線分である。点 $(0,-1),(1/2,0),(1,1)$ は含まれず、白丸で示す。 　 (3) の図示　 直線 $y=2x-1$ 上で、白丸の3点を除く部分を太線で表す。