1筑波大学 2007年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }AP=m\,OP\text{ より、両辺を平方して}\ (x-1)^2+y^2=m^2(x^2+y^2).\text{ したがって}\ (m^2-1)(x^2+y^2)+2x-1=0.\text{ }m>1\text{ なので平方完成すると}\left(x+\frac1{m^2-1}\right)^2+y^2=\frac{m^2}{(m^2-1)^2}.\text{ よって中心 }\left(-\frac1{m^2-1},0\right)\text{、半径 }\frac m{m^2-1}\text{ の円である。}\\\text{(2) }d=m^2-1>0\text{ とおく。点 }A(1,0)\text{ を通る垂直でない直線を }y=k(x-1)\text{ として円の方程式に代入すると}\ d(1+k^2)x^2+(2-2dk^2)x+(dk^2-1)=0.\text{ 判別式は}\Delta=(2-2dk^2)^2-4d(1+k^2)(dk^2-1)=4m^2(1-dk^2).\text{ 共有点がちょうど1個となる条件は }\Delta=0\text{ だから }k=\pm1/\sqrt d.\text{ このとき二次方程式の重解は }x=0\text{ で、}\ y=k(0-1)=-k\text{ より接点は }(0,\mp1/\sqrt d)\text{ である。対応する直線は }x\mp\sqrt d\,y=1\text{、すなわち}\ x+\sqrt d\,y=1\text{ と }x-\sqrt d\,y=1\text{ である。垂直線 }x=1\text{ を円の式に代入すると }d(1+y^2)+1>0\text{ となり共有点はない。}$$