2岡山大学 2007年 数学 第2問解答・解説

$a>0$ のとき $f'(x)=3(x^2-a^2)$。$x=-a$ で極大値 $2a^3-b$、$x=a$ で極小値 $-2a^3-b$ をとる。三つの実根（重根を含む）の条件は極大値が0以上、極小値が0以下、つまり $-2a^3\le b\le2a^3$ である。

根が全て $-1\le x\le1$ の範囲内にあるには、端点で $f(-1)\le0$、$f(1)\ge0$、すなわち $3a^2-1\le b\le1-3a^2$ が必要である。これらが揃い、$a\le1$ なら、単調に変化する範囲 $-1\le x\le-a$、$-a\le x\le a$、$a\le x\le1$ の各々で根が存在するので十分でもある。二つのb区間が重なるためには $3a^2-1\le1-3a^2$、すなわち $a\le1/\sqrt3$ が必要であり、これは $a\le1$ も保証する。$a=0$ では同じ不等式から $b=0$ となり、三重根0である。

$0\le a\le1/2$ では極値条件の範囲 $-2a^3\le b\le2a^3$ が端点条件の区間に含まれる。$1/2\le a\le1/\sqrt3$ では端点条件の範囲 $3a^2-1\le b\le1-3a^2$ が極値条件の区間に含まれる。したがって $$\displaystyle \operatorname{Area}(D)=\int_0^{1/2}4a^3\,da+\int_{1/2}^{1/\sqrt3}2(1-3a^2)\,da =\frac1{16}+\frac4{3\sqrt3}-\frac34 =\frac4{3\sqrt3}-\frac{11}{16}.$$

図は上記の区分境界で囲まれる領域Dを示す。