6千葉大学 2004年 数学 第6問解答・解説

(1) 方程式を平方完成すると (x-t)^2=-(1-t^2) となるので、 $\alpha$=t+$\varepsilon$ i$\sqrt{1-t^2}$　($\varepsilon$=1 または -1). したがって |$\alpha$|=$\sqrt{t^2+(1-t^2)}$=1. (2) u=$\sqrt{1-t^2}$ とする。円 C は中心 O、半径 1 の円である。 直線 AQ は OP に平行だから、複素数 z=-1+s$\alpha$ ($s$ は実数) と表せる。円との交点条件は $$\begin{aligned} |-1+s\alpha|^2&=(-1+s\alpha)(-1+s\overline{\alpha}) =1-2s\operatorname{Re}(\alpha)+s^2|\alpha|^2 =1-2ts+s^2=1. \end{aligned}$$ よって s=0 は A に対応し、もう一つの交点は s=2t なので、 Q=-1+2t$\alpha$=(2t^2-1)+2$\varepsilon$ i t u. 実部・虚部を座標とみると A=(-1,0), B=(1,0), P=(t,$\varepsilon$ u), Q=(2t^2-1,2$\varepsilon$ tu). これらの点は円 C 上にあり、A,B,P,Q は円周上にこの順で並ぶ（向きは $\varepsilon$ による）。 したがって対角線 AP で分けた二つの三角形の面積の和が四角形の面積である。 $$\displaystyle \begin{aligned} [ABP]&=\frac12\cdot AB\cdot u=u,\\ [APQ]&=\frac12\left|(1+t)(2\varepsilon tu)-\varepsilon u(2t^2)\right|=tu. \end{aligned}$$ よって面積を S(t) とすると、 S(t)=u(1+t)=(1+t)$\sqrt{1-t^2}$>0. 最大化のため S(t)^2=(1-t)(1+t)^3 とおくと、 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt}S(t)^2&=(1+t)^2\{- (1+t)+3(1-t)\} &=2(1+t)^2(1-2t). \end{aligned}$$ したがって 0<t<$\displaystyle \frac12$ で増加し、$\displaystyle \frac12$<t<1 で減少するから、最大は t=$\displaystyle \frac12$ である。 そのとき S$\displaystyle \left(\frac12\right)$=$\displaystyle \frac32$$\displaystyle \sqrt{1-\frac14}$=$\displaystyle \frac{3\sqrt3}{4}$.