5千葉大学 2004年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=x^3$、$g(x)=ax^2+bx+c$ とする。共通接線をもつ点は $x=1/2$ なので、関数値と導関数の値がそれぞれ一致する。 $$\displaystyle f\!\left(\frac12\right)=g\!\left(\frac12\right)=\frac18, \qquad f'\!\left(\frac12\right)=g'\!\left(\frac12\right)=\frac34.$$ $g'(x)=2ax+b$ より $a+b=3/4$、従って $$\displaystyle b=\frac34-a.$$ 関数値の条件は $a/4+b/2+c=1/8$ だから、これに b を代入して $$\displaystyle c=\frac{a-1}{4}.$$ これで(1)を得る。

$h(x)=f(x)-g(x)$ とおくと、 $$\displaystyle h(x)=x^3-ax^2+\left(a-\frac34\right)x+\frac{1-a}{4} =\left(x-\frac12\right)^2(x+1-a).$$ $a\le1$ のときは $0\le x\le1$ で $x+1-a\ge0$ なので $h(x)\ge0$。また $h(1/2)=0$ だから最小値は0。

$a>1$ とし、$s=a-1>0$ とおく。このとき $$\displaystyle h(x)-h(0)=x\left[\left(x-\frac12\right)^2+s(1-x)\right]\ge0 \qquad(0\le x\le1),$$ よって最小値は左端 $x=0$ で達成され、 $$\displaystyle h(0)=\frac{1-a}{4}.$$ $a=1$ の場合は両分岐とも0となるので、(2)の最小値は $$\displaystyle \min\limits _{0\le x\le1}(f(x)-g(x))= \begin{cases} 0,&a\le1,\\[2pt] \dfrac{1-a}{4},&a>1. \end{cases}$$