21自治医科大学 2007年 数学 第21問解答・解説

接点の $x$ 座標を $t$ とし、曲線を $f(x)=x^3-5x^2+8x+11$ とおく。接線の傾きは導関数の値だから、 $$f'(t)=3t^2-10t+8=m$$ である。また、接点 $(t,f(t))$ は直線 $y=mx+2$ 上にあるので、$f(t)=mt+2$ である。ここに $m=f'(t)$ を代入すると、 $$\begin{aligned} f(t)-tf'(t)&=2,\\ (t^3-5t^2+8t+11)-t(3t^2-10t+8)&=2,\\ 2t^3-5t^2-9&=0. \end{aligned}$$ 左辺を因数分解すると、 $$(t-3)(2t^2+t+3)=0.$$ 二次式の判別式は $1-4\cdot2\cdot3=-23<0$ なので実数解をもたず、実数 $t$ は $t=3$ に限る。したがって、 $$m=f'(3)=3\cdot3^2-10\cdot3+8=5.$$ 実際、$m=5$ のとき曲線と直線の差は $$f(x)-(5x+2)=x^3-5x^2+3x+9=(x-3)^2(x+1)$$ となる。接点 $x=3$ のほかに $x=-1$ でも交わるため、条件を満たす。よって答えは $m=5$（選択肢：ハ）である。