9自治医科大学 2007年 数学 第9問解答・解説

$A,B$ はともに鋭角なので、$\sin A,\cos A,\sin B,\cos B$ はすべて正である。$x=\sin^2 A,\ y=\sin^2 B$ とおくと、第一条件から $$\displaystyle 3x+2y=1,\qquad x=\frac{1-2y}{3}.$$ 第二条件 $3\sin 2A=2\sin 2B$ を両辺2乗し、$\sin^2 2\theta=4\sin^2\theta(1-\sin^2\theta)$ を用いると、 $$9x(1-x)=4y(1-y)$$ を得る。ここに $\displaystyle x=\dfrac{1-2y}{3}$ を代入すると、 $$2(1-2y)(1+y)=4y(1-y),\qquad (1-2y)(1+y)=2y(1-y),$$ したがって $1-3y=0$ であり、$\displaystyle y=\dfrac13,\ x=\dfrac19$ となる。正の値をとることから $$\displaystyle \sin A=\frac13,\quad \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}=\frac{2\sqrt2}{3},\qquad \sin B=\frac{\sqrt3}{3},\quad \cos B=\sqrt{1-\sin^2 B}=\frac{\sqrt6}{3}.$$ 得られた値をもとの条件に代入すると、 $$\displaystyle 3\sin^2 A+2\sin^2 B=3\cdot\frac19+2\cdot\frac13=1,$$ また $$\displaystyle 3\sin 2A=3\cdot2\cdot\frac13\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=\frac{4\sqrt2}{3} =2\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt6}{3}=2\sin 2B$$ であり、符号を含む第二条件も満たす。 さらに $$\displaystyle \cos 2B=\cos^2 B-\sin^2 B=\frac13,\qquad \sin 2B=2\sin B\cos B=\frac{2\sqrt2}{3}$$ だから、 $$\displaystyle \cos(A+2B)=\cos A\cos 2B-\sin A\sin 2B =\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac13-\frac13\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=0.$$ $B$ は鋭角で $\displaystyle \sin^2 B=\dfrac13<\dfrac12=\sin^2 45^\circ$ より $B<45^\circ$ である。よって $0<A+2B<180^\circ$ となる。この範囲で余弦が $0$ となる角は $90^\circ$ だから、$A+2B=90^\circ=6\cdot15^\circ$。したがって答えはマ（6）である。