8自治医科大学 2007年 数学 第8問解答・解説

まず，分母をまとめると，$$\displaystyle \frac{1}{1+\sin\theta}+\frac{1}{1-\sin\theta}=\frac{2}{1-\sin^2\theta}=\frac{2}{\cos^2\theta},\qquad\frac{1}{1+\cos\theta}+\frac{1}{1-\cos\theta}=\frac{2}{1-\cos^2\theta}=\frac{2}{\sin^2\theta}.$$また，$\tan\theta=5$ より $\sin\theta=5\cos\theta$ であり，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ と合わせると$$\displaystyle 26\cos^2\theta=1,\qquad\cos^2\theta=\frac{1}{26},\qquad\sin^2\theta=\frac{25}{26}.$$したがって、$\sin\theta$ を含む二つの分数の和は $52$、$\cos\theta$ を含む二つの分数の和は $\displaystyle \frac{52}{25}$ である。 よって$$\displaystyle a=\frac{25}{2}\left(52+\frac{52}{25}\right)=676.$$このとき $a>0$ なので $\sqrt{a}=26$ であり，求める値は$$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{13}=\frac{26}{13}=2.$$したがって答えは $2$（選択肢サ）である。