3筑波大学 2006年 数学 第3問解答・解説

解答

円柱の軸は $y=0,z=1$ の直線だから $$C:\ y^2+(z-1)^2\le1.$$ また $R$ は $|x|\le z^2$ で表される。

(1) $z=1+h$ の平面では、円柱条件から $|y|\le\sqrt{1-h^2}$、立体 $R$ の条件から $|x|\le(1+h)^2$。よって切り口は辺の長さが $2\sqrt{1-h^2}$ と $2(1+h)^2$ の長方形であり、その面積は $$\boxed{4(1+h)^2\sqrt{1-h^2}}.$$

(2) 円柱内では $0\le z\le2$。高さ $z$ の切り口は辺の長さが $2z^2$ と $2\sqrt{1-(z-1)^2}$ の長方形だから、 $$\displaystyle V=4\int_0^2z^2\sqrt{1-(z-1)^2}\,dz.$$ $u=z-1$ と置換し、奇関数の項を除くと $$\displaystyle V=4\int_{-1}^1(1+u^2)\sqrt{1-u^2}\,du.$$ $u=\sin\theta$ と置けば $$\displaystyle \int_{-1}^1\sqrt{1-u^2}\,du =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\frac\pi2,$$ $$\displaystyle \int_{-1}^1u^2\sqrt{1-u^2}\,du =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta =\frac18\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\cos4\theta)\,d\theta =\frac\pi8.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{V=4\left(\frac\pi2+\frac\pi8\right)=\frac{5\pi}{2}}.$$