1名古屋大学 2019年 数学 第1問解答・解説

数学確認 (1) 指定恒等式から $$\displaystyle I_1=\frac12\left[\log(1+\sin\theta)-\log(1-\sin\theta)\right]_0^{\pi/3} =\log(2+\sqrt3).$$ (2) 部分積分と $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ により $$(n-1)I_n=2^{n-2}\sqrt3+(n-2)I_{n-2}\qquad(n\ge3).$$

(3) 高さ $z$ の円盤断面の半径は $r=1-z$。切断面 $x=1/2$ の小さい側は $x\ge1/2$ の円弧部分で、$r<1/2$ なら断面は空。$r\ge1/2$ では $a=1/2,\ a=r\cos\alpha$ とおくと断面積は $$A(r)=r^2\alpha-a\sqrt{r^2-a^2}.$$ よって $\displaystyle V=\int_a^1 A(r)\,dr$。$r=a\sec\alpha$ と置けば $0\le\alpha\le\pi/3$ となり、 $$\displaystyle V=a^3\left(\frac{8\pi}{9}-\frac43I_3+I_1\right).$$ (2) の $I_3=\sqrt3+I_1/2$ と (1) を代入すると $$\displaystyle V=\frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt3}{6}+\frac{\log(2+\sqrt3)}{24},$$ となり、A012 の答えと一致する。