3名古屋大学 2019年 数学 第3問解答・解説

小数部分を t=$\sqrt{n}$-m (m=$\lfloor$$\sqrt{n}$$\rfloor$) とする。条件より $0.01\le t<0.10$ である。$n$ は平方数ではないので $\sqrt n$ は無理数であり、$t\ne0.01$。したがって $0.01<t<0.10$。$r=n-m^2$ は正の整数だから、両辺を平方して $\displaystyle \frac{m}{50}+\frac1{10000}<r<\frac m5+\frac1{100}$ を得る。$m=1,2,3,4$ ではこの範囲に整数はない。$m=5,6,7,8,9$ ではそれぞれ $r=1$ のみで、$n=26,37,50,65,82$。$m=10,11$ ではそれぞれ $r=1,2$ なので $n=101,102,122,123$。よって小さい順の最初は $26$、10番目は $145=12^2+1$ である。