2奈良県立医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) $m=1$では$n=2$である。$a_1\le x\le a_2$なら、最初の差は非負、次の差は非正なので$f(x)=(x-a_1)+(a_2-x)=a_2-a_1$。この値が最小値である。実際、$x<a_1$では$f(x)=a_1+a_2-2x>a_2-a_1$、$x>a_2$では$f(x)=2x-a_1-a_2>a_2-a_1$。したがってアは$a_2-a_1$。

(2) $a_l<x<a_{l+1}$では、$k\le l$のとき$x-a_k>0$、$k\ge l+1$のとき$x-a_k<0$である。よって問題の和を符号に応じて書き換えると$$\displaystyle f(x)=\sum\limits _{k=1}^{l}(x-a_k)+\sum\limits _{k=l+1}^{n}(a_k-x)=(2l-n)x+\sum\limits _{k=l+1}^{n}a_k-\sum\limits _{k=1}^{l}a_k.$$ $n=2m$だから、イは$2l-2m$である。この式は$l=0$または$l=n$でも、空和を$0$とすれば同じく成り立つ。

(3) $l<m$では傾き$2l-2m<0$なので、各区間で$f$は右へ進むほど減少する。$l=m$では傾きが$0$で、$a_m<x<a_{m+1}$の間一定である。$l>m$では傾き$2l-2m>0$なので、各区間で$f$は増加する。各項は連続であるから$f$は全体で連続であり、最小値は$a_m\le x\le a_{m+1}$の範囲でとる。そこで(2)の式に$l=m$を代入すれば$$\displaystyle f(x)=\sum\limits _{k=m+1}^{2m}a_k-\sum\limits _{k=1}^{m}a_k$$となる。これがウである。