4信州大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]$=k であることは，k$\le$ $\displaystyle \frac{x}{2}$<k+1 と同値である。2>0 なので両辺に 2 を掛けて，$$2k\le x<2k+2$$ を得る。

(2) $\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]$=1 から 2$\le$ x<4，$\displaystyle \left[\frac{x}{3}\right]$=1 から 3$\le$ x<6 である。したがって共通範囲は $$3\le x<4$$ となる。

(3) 共通の整数値を n とおくと，$$\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]=\left[\frac{x}{3}\right]=n$$ であるための必要十分条件は、次の二つの不等式がともに成り立つことである。 $$2n\le x<2n+2,\quad 3n\le x<3n+3.$$ まず n$\le$ -1 のとき，下限は 2n，上限は 3n+3 なので，共通範囲は $2n\le x<3n+3$ である。これが空でない条件は 2n<3n+3，すなわち n>-3 であり，整数 n は -2,-1 に限られる。このとき範囲はそれぞれ $-4\le x<-3$、$-2\le x<0$ である。

次に n$\ge$ 0 のとき，下限は 3n，上限は 2n+2 なので，共通範囲は $3n\le x<2n+2$ である。これが空でない条件は 3n<2n+2，すなわち n<2 であり，整数 n は 0,1 に限られる。このとき範囲はそれぞれ $0\le x<2$、$3\le x<4$ である。

以上を合わせると、$-2\le x<0$ と $0\le x<2$ は $-2\le x<2$ にまとめられるので、求める範囲は $-4\le x<-3$、$-2\le x<2$、$3\le x<4$ のいずれかである。