6信州大学 2022年 数学 第6問解答・解説

(1) 二次の係数を $a,b$ とする。$C_1$ は $(0,0)$ で $\displaystyle \ell:y=\frac{x}{2}$ に接するので $$\displaystyle f(x)=ax^2+\frac{x}{2}\quad(a>0).$$ また、$C_2$ は $(4,2)$ で $\ell$ に接するので $$\displaystyle g(x)=b(x-4)^2+\frac{x}{2}\quad(b>0).$$ 交点 $\displaystyle \left(\frac43,\frac{22}{9}\right)$ を代入すると $$\displaystyle \frac{16a}{9}+\frac23=\frac{22}{9},\qquad \frac{64b}{9}+\frac23=\frac{22}{9},$$ したがって $\displaystyle a=1,\ b=\frac14$。よって $$\displaystyle f(x)=x^2+\frac{x}{2},\qquad g(x)=\frac{(x-4)^2}{4}+\frac{x}{2} =\frac{x^2}{4}-\frac{3x}{2}+4.$$

(2) $\displaystyle f(x)-g(x)=\frac{(3x-4)(x+4)}{4}$ なので、$x\ge0$ では $\displaystyle x=\frac43$ で上側の放物線が $f$ から $g$ に切り替わる。さらに $$\displaystyle f(x)-\ell(x)=x^2,\qquad g(x)-\ell(x)=\frac{(x-4)^2}{4},$$ より下側の境界は $0\le x\le4$ で直線 $\ell$ である。したがって回転軸から距離 $x$ の縦薄片を回転してできる円筒殻の半径は $x$、高さは区間ごとに $x^2$ または $\displaystyle \frac{(x-4)^2}{4}$ となる。薄片の体積 $2\pi x\times\text{(高さ)}\,dx$ を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\pi\left(\int_0^{4/3}x^3\,dx+ \frac14\int_{4/3}^{4}x(x-4)^2\,dx\right)\\ &=2\pi\left(\frac{64}{81}+\frac{256}{81}\right) =\frac{640\pi}{81}. \end{aligned}$$