2信州大学 2022年 数学 第2問解答・解説

agraph{(1)} 1回目と2回目の表示の組 $(X,Y)$ は、順序を区別すると $10^2=100$ 通りが同様に確からしい。$X=0,9$ のとき $|X-Y|\leq1$ となる $Y$ はそれぞれ2個、$X=1,2,\ldots,8$ のときはそれぞれ3個である。従って失敗となる組は $$2\cdot2+8\cdot3=28\text{通り}$$ であり、3回目を押せる組は $100-28=72$ 通り。よって確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{72}{100}=\frac{18}{25}}.$$

agraph{(2)} $|X-Y|=d$（$d=2,3,\ldots,9$）とする。差が $d$ となる順序つきの $(X,Y)$ は、$0\leq X,Y\leq9$ の範囲で $2(10-d)$ 通りあり、それぞれについて $X$ と $Y$ の間にある整数 $Z$ は $d-1$ 個である。従って成功する順序つきの $(X,Y,Z)$ の個数は $$\displaystyle \sum\limits _{d=2}^{9}2(10-d)(d-1) =2\sum\limits _{j=1}^{8}(9-j)j =2\left(9\cdot36-204\right)=240,$$ ただし $j=d-1$ とした。3回の表示を同様に確からしい独立な表示として数えると全体は $10^3=1000$ 通りなので、成功確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{240}{1000}=\frac{6}{25}}.$$ 確認として、3回目を押せる確率 $18/25$ に、押せる場合の条件付き成功確率 $240/(72\cdot10)=1/3$ を掛けても $6/25$ となる。