5信州大学 2022年 数学 第5問解答・解説

0$\le$ x$\le$ p/2 では f(x)=x, p/2$\le$ x$\le$ p では f(x)=p-x である。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}I_1&=\int_0^{p/2}xe^{-x}\,dx+\int_{p/2}^{p}(p-x)e^{-x}\,dx\\&=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^{p/2}+\left[(x-p+1)e^{-x}\right]_{p/2}^{p}\\&=1+e^{-p}-2e^{-p/2}=(1-e^{-p/2})^2.\end{aligned}$$ $t=x-p(k-1)$ とおくと周期性から $f(t+p(k-1))=f(t)$ なので $\displaystyle I_k=e^{-p(k-1)}\int_0^p e^{-t}f(t)\,dt=e^{-p(k-1)}I_1$. $p>0$ より $I_1>0$ であり、$\displaystyle \frac{I_k}{I_1}=e^{-p(k-1)}$.$$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{pn}e^{-x}f(x)\,dx&=\sum\limits _{k=1}^{n}I_k=I_1\sum\limits _{j=0}^{n-1}e^{-pj}\\&=(1-e^{-p/2})^2\frac{1-e^{-pn}}{1-e^{-p}}.\end{aligned}$$ $p>0$ だから $e^{-p}<1$ であり、$n\to\infty$ とすると$\displaystyle \frac{(1-e^{-p/2})^2}{1-e^{-p}}=\frac{1-e^{-p/2}}{1+e^{-p/2}}$.