3信州大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$t=m+2$ とおくと、方程式は (f_t(x)=x^2-tx+2t=0) となり、判別式は $\Delta=t^2-8t=t(t-8)$ である。

まず $t<0$ では積 $2t<0$ より、2解を $\alpha<0<\beta$ とおける。$f_t(0)=2t<0$、$f_t(3)=9-t>0$ なので、($\beta$) は常に (0<$\beta$<3) にある。また (f_t(-1)=1+3t) である。これが負なら $-1$ は2解の間にあり、負の解は $-1$ より小さいので区間内の解は $\beta$ だけである。これが0なら $-1$ と $\beta$ の2解が区間内にあり、正なら負の解も $-1<\alpha<0$ に入る。したがって、この場合にちょうど1解となる条件は $1+3t<0$、すなわち $\displaystyle t<-\frac13$ である。

$t=0$ では $x^2=0$ となり、重解 $x=0$ を1個と数える。$0<t<8$ では $\Delta<0$ なので実数解はない。

次に $t\ge8$ では放物線の軸は $\displaystyle x=\frac t2\ge4$ であり、範囲 (-1≦x≦3) では $f_t(x)$ はxが大きくなると必ず小さくなる。$8\le t<9$ なら $f_t(3)=9-t>0$ なので区間内に解はない。$t\ge9$ なら $f_t(-1)=1+3t>0$、$f_t(3)=9-t\le0$ であり、xが大きくなると必ず小さくなることから区間内の解はちょうど1個である。

以上を $m=t-2$ に戻すと、求める範囲は $\displaystyle m<-\frac73$、$m=-2$、または $m\ge7$ である。