I福岡大学 2023年 数学 第I問解答・解説

問題 I

(i) 解の公式より $$\alpha=-k-\sqrt{k^2-4k+3},\qquad \beta=-k+\sqrt{k^2-4k+3}.$$ $\alpha<\beta$ は判別式が正であることと同値なので $$k^2-4k+3>0 \quad\text{すなわち}\quad k<1\ \text{または}\ k>3.$$ したがって $$(1)\quad k<1\ \text{または}\ k>3.$$ さらに $\beta\le k$ は $$\sqrt{k^2-4k+3}\le 2k$$ と同値である。左辺は正なので、この不等式には $k>0$ が必要である。この条件のもとで平方すると $$k^2-4k+3\le4k^2 \quad\text{すなわち}\quad 3k^2+4k-3\ge0.$$ 二次式の根は $(-2\pm\sqrt{13})/3$ であり、$k>0$ と合わせると $k\ge(-2+\sqrt{13})/3$ となる。これを二つの異なる実根の条件と交差させて $$\displaystyle (2)\quad \frac{-2+\sqrt{13}}{3}\le k<1\ \text{または}\ k>3.$$

(ii) 全事象は $6^3=216$ 通りである。Aの目が4で、かつ最大値が4となるには、B,Cはそれぞれ1から4のいずれかでよいので、該当するのは $4^2=16$ 通りである。従って $$\displaystyle (3)=\frac{16}{216}=\frac{2}{27}.$$ 最大値が4となる事象は、全て4以下となる $4^3$ 通りから全て3以下となる $3^3$ 通りを除いた $64-27=37$ 通りである。このうちAの目が4であるものは16通りだから $$\displaystyle (4)=\frac{16}{37}.$$

(iii) $r=9x^2+36x+34=9(x+2)^2-2$ とおく。無限等比級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}r^n$ の収束条件は $|r|<1$ である。よって $$\displaystyle -1<9(x+2)^2-2<1 \quad\text{すなわち}\quad \frac13<|x+2|<\frac1{\sqrt3}.$$ 従って収束する範囲は $$\displaystyle (5)\quad -2-\frac1{\sqrt3}<x<-\frac73\quad\text{または}\quad-\frac53<x<-2+\frac1{\sqrt3}.$$ このとき級数の和は $r/(1-r)$ であるから、和が2となる条件は $$\displaystyle \frac{r}{1-r}=2 \quad\text{すなわち}\quad r=\frac23.$$ これを $9x^2+36x+34=r$ に代入すると $$27x^2+108x+100=0,$$ 従って $$\displaystyle (6)\quad x=-2\pm\frac{2\sqrt6}{9}.$$ この二つの値はいずれも $r=2/3$ を満たすので、収束条件内にある。

$$\displaystyle \boxed{ \begin{aligned} (1)&:\ k<1\ \text{または}\ k>3,\\ (2)&:\ \frac{-2+\sqrt{13}}3\le k<1\ \text{または}\ k>3,\\ (3)&:\ \frac{2}{27},\qquad (4):\ \frac{16}{37},\\ (5)&:\ -2-\frac1{\sqrt3}<x<-\frac73\ \text{または}\ -\frac53<x<-2+\frac1{\sqrt3},\\ (6)&:\ -2\pm\frac{2\sqrt6}{9} \end{aligned}}$$