III福岡大学 2023年 数学 第III問解答・解説

問題 III

$t=\tan x$ とおく。$-\pi/2<x<\pi/2$ では $t$ は実数全体を動き、$dt/dx=1+t^2>0$ である。また $$f(x)=4t^3-9t^2,\qquad f'(x)=(12t^2-18t)(1+t^2) =6t(2t-3)(1+t^2).$$ 従って$f'(x)$は$t<0$で正、$0<t<3/2$で負、$t>3/2$で正である。よって極大となるのは$t=0$、すなわち $$a=0.$$

さらに微分すると $$f''(x) =6(1+t^2)(t-1)(8t^2-t+3).$$ 二次式$8t^2-t+3$の判別式は$1-96=-95<0$で、最高次係数が正なので常に正である。$1+t^2$も正であり、$f''$の符号は$t-1$の符号と一致する。したがって$f''$は$t=1$を境に負から正に変わり、変曲点の$x$座標は $$\displaystyle b=\arctan1=\frac{\pi}{4}.$$ このとき $$f(b)=4\cdot1^3-9\cdot1^2=-5.$$ よって $$\displaystyle \text{(i)}\quad a=0,\qquad b=\frac{\pi}{4}.$$

(ii) $0\le x\le\pi/4$ では$0\le t=\tan x\le1$なので $f(x)=t^2(4t-9)\le0$である。求める領域の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_0^{\pi/4}\{0-f(x)\}\,dx\\ &=\int_0^{\pi/4}(9\tan^2x-4\tan^3x)\,dx. \end{aligned}$$ 恒等式$\tan^2x=\sec^2x-1$より $$\displaystyle \int\tan^2x\,dx=\tan x-x.$$ また$\tan^3x=\tan x(\sec^2x-1)$だから $$\displaystyle \int\tan^3x\,dx =\frac12\tan^2x+\log(\cos x) \quad\left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right).$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned} S &=9\left[\tan x-x\right]_0^{\pi/4} -4\left[\frac12\tan^2x+\log(\cos x)\right]_0^{\pi/4}\\ &=9\left(1-\frac{\pi}{4}\right) -4\left(\frac12-\frac12\log2\right)\\ &=7-\frac{9\pi}{4}+2\log2. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \text{(ii)}\quad S=7-\frac{9\pi}{4}+2\log2.$$ $$\displaystyle \boxed{a=0,\quad b=\frac{\pi}{4},\quad \text{面積}=7-\frac{9\pi}{4}+2\log2}$$