5九州大学 2025年 数学 第5問解答・解説

さいころを3回投げて出る目を順に $a,b,c$ とすると，$(a,b,c)$ の組は全部で $6^{3}=216$ 通りあり，これらは同様に確からしい。

$f(x)=(x^{2}-ax+b)(x-c)$ の実数解全体は，$g(x)=x^{2}-ax+b=0$ の実数解全体と $\{c\}$ との和集合である。

(1)　 $g(x)=0$ の判別式を $D=a^{2}-4b$ とする。

(i) $D<0$ のとき，$g(x)=0$ は実数解をもたないから，$f(x)=0$ の実数解は $x=c$ のみであり，その個数は常に $1$ 個である。

(ii) $D=0$ のとき，$g(x)=0$ は重解 $\displaystyle x=\dfrac{a}{2}$ をもつ。$f(x)=0$ の実数解全体は $\displaystyle \left\{\dfrac{a}{2},\,c\right\}$ であるから，個数が $1$ 個となるのは $\displaystyle \dfrac{a}{2}=c$ のときに限る。

(iii) $D>0$ のとき，$g(x)=0$ は相異なる2つの実数解をもつから，$f(x)=0$ の実数解は少なくとも2個あり，個数が $1$ 個になることはない。

したがって，実数解の個数が $1$ 個であるのは，(i) $D<0$ の場合，または (ii) $D=0$ かつ $a=2c$ の場合である。

(i)の場合の数：$a$ の値ごとに $\displaystyle D<0\quad\text{すなわち}\quad b>\dfrac{a^{2}}{4}$ を満たす $b\ (1\le b\le6)$ の個数を数えると $$\displaystyle \begin{array}{c|cccccc} a & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline b>\frac{a^{2}}{4}\text{ を満たす }b\text{ の個数} & 6 & 5 & 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}$$ よって $(a,b)$ の組は $6+5+4+2+0+0=17$ 通りあり，このとき $c$ は $1$ から $6$ までのどの値でもよいから，(i)の場合の数は $17\times 6=102$ 通りである。

(ii)の場合：$D=0\quad\text{すなわち}\quad a^{2}=4b$ より $a$ は偶数で $\displaystyle b=\dfrac{a^{2}}{4}$。$a=2$ のとき $b=1$，$a=4$ のとき $b=4$，$a=6$ のとき $b=9$ となり $b\le 6$ を満たさないので不適。さらに $\displaystyle c=\dfrac{a}{2}$ が必要なので，$a=2,\,b=1,\,c=1$ および $a=4,\,b=4,\,c=2$ の $2$ 通りのみが条件を満たす。

以上より，条件を満たす $(a,b,c)$ の総数は $102+2=104$ 通りであるから，求める確率は $$\displaystyle \frac{104}{216}=\frac{13}{27}.$$

(2)　 $f(x)=0$ の実数解全体は $g(x)=0$ の実数解全体と $\{c\}$ の和集合であり，$c$ は $1$ から $6$ までの自然数だから常に自然数解の1つである。自然数解の個数が $3$ 個になるのは，$g(x)=0$ が相異なる2つの自然数解 $p,q\ (p<q)$ をもち，かつ $c$ が $p,q$ のいずれとも異なるときに限る（それ以外では自然数解の集合の要素数は高々2個にしかならない）。

$g(x)=x^{2}-ax+b=0$ が自然数解 $p,q$（$p<q$）をもつとき，解と係数の関係より $$a=p+q,\qquad b=pq$$ であり，$1\le a\le 6,\ 1\le b\le 6$ を満たす必要がある。$p\ge1,\ q\ge p+1$ のもとで $p+q\le 6$ かつ $pq\le 6$ を満たす組 $(p,q)$ を調べると $$(p,q)=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)$$ の $5$ 通りに限られ，対応する $(a,b)$ はそれぞれ $$(a,b)=(3,2),\,(4,3),\,(5,4),\,(6,5),\,(5,6)$$ である（例えば $(p,q)=(1,6)$ は $a=7>6$，$(2,4)$ は $b=8>6$ となり，いずれも不適)。

これらの各 $(a,b)$ について，$p,q$ はいずれも $1$ から $6$ までの相異なる2値であるから，$p,q$ のいずれとも異なる $c$ は $6-2=4$ 通りある。

よって条件を満たす $(a,b,c)$ の総数は $5\times4=20$ 通りであるから，求める確率は $$\displaystyle \frac{20}{216}=\frac{5}{54}.$$