九州大学 2025年数学第3問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

九州大学2025年度第3問配点 50点

この問題の解答は、解答紙17の定められた場所に記入しなさい。

【問題】以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を整数とするとき、 $n^{2}$ を8で割った余りは $0,1,4$ のいずれかであることを示せ。

(2) $2^{m}=n^{2}+3$ を満たす0以上の整数の組 $(m,n)$ をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) nを8で割った余りをrとすると、 $n^2$ を8で割った余りは $r^2$ を8で割った余りに等しい。 $r=0,1,...,7$ について $r^2$ を8で割った余りを調べると0,1,4,1,0,1,4,1となるので、 $n^2$ を8で割った余りは0,1,4のいずれかである。
$(2) (m,n)=(2,1)$ のみ

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 偶数nを $n=2k$ と書く。kが偶数なら $n^2\equiv0\pmod8$ 、kが奇数なら $n^2\equiv4\pmod8$ 。奇数nは $n=2k+1$ と書け、 $n^2=4k(k+1)+1\equiv1\pmod8$ である（連続する2整数の積は偶数）。従って余りは0,1,4のいずれか。

(2) $m\ge3$ なら $n^2=2^m-3\equiv5\pmod8$ となり(1)に反する。よって $m=0,1,2$ のみを調べればよい。前二者では $n^2<0$ で不可能。 $m=2$ なら $n^2=1$ で、非負整数条件より $n=1$ 。これは元の式を満たすから $\boxed{(m,n)=(2,1)}.$

この問題で使う考え方

8を法とする余り
有限の場合分け

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