4金沢大学 2025年 数学 第4問解答・解説

定義から $$\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}2,\qquad b_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.$$ また $$\displaystyle x_n=\sum\limits _{k=1}^n k\frac{k(k+1)}2 =\frac12\left(\sum\limits _{k=1}^n k^3+\sum\limits _{k=1}^n k^2\right) =\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}.$$ (1) $$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}=\frac{2n+1}{3}$$ なので整数となるのは $2n+1\equiv0\pmod3$、すなわち $n\equiv1\pmod3$ のとき。よって $n=3m+1\ (m=0,1,2,\ldots)$。 (2) $$\displaystyle \frac12(a_n^2+b_n) =\frac12\left\{\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{n(n+1)(2n+1)}6\right\} =\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}=x_n.$$ (3) $$\displaystyle \frac{x_n}{a_n}=\frac{(3n+1)(n+2)}{12}.$$ 整数となるには分子が3と4の両方で割り切れる必要がある。3で割り切れる条件は $n\equiv1\pmod3$。4で割り切れる条件は $n\equiv1,2\pmod4$。両条件を合わせると $$n\equiv1,10\pmod{12}.$$

まず和の公式から$a_n,b_n$を求め、$a_k$を代入してx_nも計算します。(1)は$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}=\frac{2n+1}{3}$の整除条件です。(2)は平方和・立方和を使うと、求めたx_nと右辺が同じ形になります。(3)では$\displaystyle \frac{x_n}{a_n}=\frac{(3n+1)(n+2)}{12}$なので、分子が3と4で割り切れる条件を別々に調べ、最後に合同条件を合わせます。