1金沢大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) 距離の比 $AP:CP=1:m$ から $m^2AP^2=CP^2$。座標を代入すると $$m^2((x-1)^2+y^2)=(x-m^2)^2+y^2.$$ 整理して $(m^2-1)(x^2+y^2-m^2)=0$。$m>1$ なので軌跡は $x^2+y^2=m^2$。

(2) この円の式を使うと $$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=(m-x)(m^2-x)+y^2=m(m+1)(m-x).$$

(3) $y\ne0$ なら円の式から $x<m$ で、角は退化しない。各ベクトルを座標で書き、内積を計算すると $$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(1-x)(m-x)+y^2=(m+1)(m-x),$$ $$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=(m-x)(m^2-x)+y^2=m(m+1)(m-x).$$ また条件 $CP=m\,AP$ より $|PC|=m|PA|$。したがって $$\displaystyle \cos\angle APB=\frac{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}}{|PA||PB|} =\frac{\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}}{|PB||PC|} =\cos\angle BPC.$$ どちらの角も $0$ から $\pi$ の範囲にあるので、余弦が等しいことから $\angle APB=\angle BPC$。