金沢大学 2025年数学第3問解答・解説

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1問題

金沢大学2025年度第3問

座標平面上の 0 ≦ x ≦ 2 log 2 の範囲において，曲線 y = $e^x$ と曲線 y = 2 - e^(2x)，直線 x = 2 log 2 で囲まれた図形を D とする。図形 D を x 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 V を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

V
$\displaystyle \pi\left(\frac{155}{4}+2\log2\right)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答 $L=\log2$ とおく。 $0\le x\le L/2$ では両曲線は正で $e^x\ge2-e^{2x}$ だから回転断面は円環で面積 $\pi\{e^{2x}-(2-e^{2x})^2\}$ 。 $L/2\le x\le2L$ では領域が $x$ 軸をまたぐ。断面半径は $\displaystyle \max(e^x,e^{2x}-2)$ であり，両者の大小は $e^x=e^{2x}-2$ ，すなわち $x=L$ で入れ替わる。よって $\displaystyle \frac V\pi=\int_0^{L/2}\{e^{2x}-(2-e^{2x})^2\}\,dx+\int_{L/2}^{L}e^{2x}\,dx+\int_L^{2L}(e^{2x}-2)^2\,dx.$ 3つの積分は順に $7/4-2L$ , $1$ , $36+4L$ 。従って $\displaystyle V=\pi\left(\frac{155}{4}+2\log2\right).$

この問題で使う考え方

断面積による積分
大小比較で積分区間を分割

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