8長崎大学 2026年 数学 第8問解答・解説

(1) $P(x^2)=x^4+ax^2+b$ であり、多項式の除法を行うと $$x^4+ax^2+b=(x^2+ax+b)(x^2-ax+a^2+a-b)+a(2b-a^2-a)x+b(1-a^2-a+b)$$ となる。最後の二項は $x$ に関する一次以下の式なので、 $$Q(x)=x^2-ax+a^2+a-b,\qquad R(x)=a(2b-a^2-a)x+b(1-a^2-a+b)$$ である。割り切れるための必要十分条件は余りの各係数が $0$ であること。$a\ne0,\ b\ne0$ より $$2b=a^2+a,\qquad b=a^2+a-1.$$ これらを合わせて $a^2+a-2=0$、すなわち $(a-1)(a+2)=0$ を得る。よって $a=1$ または $a=-2$ であり、いずれも $b=a^2+a-1=1$ となる。

(2) $a\ge1$ だから $1-a\le0\le1+a$ である。また $e^x\le1$ は $x\le0$ のとき、$e^x\ge1$ は $x\ge0$ のとき成り立つ。そこで積分を $x=0$ で分けると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1-a}^{1+a}|e^x-1|\,dx &=\int_{1-a}^{0}(1-e^x)\,dx+\int_0^{1+a}(e^x-1)\,dx\\ &=a-2+e^{1-a}+e^{1+a}-a-2\\ &=e^{a+1}+e^{1-a}-4. \end{aligned}$$ これを $F(a)$ とおくと $$F'(a)=e^{a+1}-e^{1-a}=e^{1-a}(e^{2a}-1)>0\qquad(a\ge1)$$ なので $F$ は $a\ge1$ で増加する。また $F(1)=e^2-3$、$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}F(a)=\infty$ であり、$F$ は連続である。したがって取りうる値の範囲は $F(a)\ge e^2-3$ である。

(3) は (B) を選ぶ。$a=-1$ のとき、方程式は $x^2-2x-1=0$ であり、判別式は $8>0$ だから異なる二つの実数解をもつ。$a=0$ のときは $1=0$ となり解はない。$a=1$ のときは $(x-1)^2=0$ となり、解は重解 $x=1$ の一個である。よって確率分布は $$\displaystyle \begin{array}{c|ccc} X&0&1&2\\ \hline P&\frac13&\frac12&\frac16 \end{array}$$ である。したがって $$\displaystyle E(X)=0\cdot\frac13+1\cdot\frac12+2\cdot\frac16=\frac56, \qquad E(X^2)=0^2\cdot\frac13+1^2\cdot\frac12+2^2\cdot\frac16=\frac76.$$ ゆえに $$\displaystyle \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\frac76-\left(\frac56\right)^2=\frac{17}{36}.$$