9長崎大学 2026年 数学 第9問解答・解説

まず $$f(x)=x\{x^2-(a+b)x+ab\}=x(x-a)(x-b)$$ である。したがって、$x$ 軸との交点は $O=(0,0),\ A=(a,0),\ B=(b,0)$ であり、$0<a<b$ より $OA<OB$ も満たす。

$$f'(x)=3x^2-2(a+b)x+ab$$ だから、$f'(0)=ab,\ f'(a)=a(a-b),\ f'(b)=b(b-a)$ である。よって接線は $$l_1:y=abx,\qquad l_2:y=a(a-b)(x-a),\qquad l_3:y=b(b-a)(x-b)$$ となる。

$0<x<a$ では $f(x)>0$、$a<x<b$ では $f(x)<0$ であるから、面積は $$\displaystyle S_1=\int_0^a f(x)\,dx =\left[\frac{x^4}{4}-\frac{(a+b)x^3}{3}+\frac{abx^2}{2}\right]_0^a =\frac{a^3(2b-a)}{12}.$$ また、$d=b-a$ とおき $x=a+u$ と置換すると $$\displaystyle S_2=-\int_a^b f(x)\,dx =\int_0^d(a+u)u(d-u)\,du =\frac{ad^3}{6}+\frac{d^4}{12} =\frac{(b-a)^3(a+b)}{12}.$$ したがって $$\displaystyle S_1-S_2 =\frac{a^3(2b-a)-(b-a)^3(a+b)}{12} =\frac{b^3(2a-b)}{12}.$$ $b>0$ なので、この差の符号は $2a-b$ の符号と同じである。ゆえに、$b<2a$ なら $S_1>S_2$、$b=2a$ なら $S_1=S_2$、$b>2a$ なら $S_1<S_2$ である。

$S_1=S_2$ とすると $b=2a$ である。このとき $$l_1:y=2a^2x,\qquad l_2:y=-a^2(x-a),\qquad l_3:y=2a^2(x-2a).$$ $l_1,l_2$ の交点では $2a^2x=-a^2(x-a)$ より $x=a/3$、したがって $D=(a/3,2a^3/3)$ である。$l_2,l_3$ の交点では $-a^2(x-a)=2a^2(x-2a)$ より $x=5a/3$、したがって $E=(5a/3,-2a^3/3)$ である。

四角形 $OEBD$ は対角線 $OB$ で二つの三角形に分かれ、$OB=2a$ および $|y_D|=|y_E|=2a^3/3$ だから $$\displaystyle T=\frac12(2a)\frac{2a^3}{3}+\frac12(2a)\frac{2a^3}{3}=\frac{4a^4}{3}.$$ また $b=2a$ を $S_1$ に代入すると $S_1=S_2=a^4/4$ なので $$\displaystyle \frac{S_1+S_2}{T}=\frac{a^4/2}{4a^4/3}=\frac38.$$

最後に、$F$ は線分 $BD$ 上にあるので、ある $0\le t\le1$ に対して $$\displaystyle F=B+t(D-B)=\left(2a-\frac{5a}{3}t,\frac{2a^3}{3}t\right)$$ と表せる。よって $$\displaystyle [\triangle OBF]=\frac12(2a)\frac{2a^3}{3}t=\frac{2a^4}{3}t.$$ これが $S_1=a^4/4$ に等しいから $t=3/8$ であり、$0<t<1$ を満たす。したがって $$\displaystyle F=\left(2a-\frac{5a}{8},\frac{a^3}{4}\right)=\left(\frac{11a}{8},\frac{a^3}{4}\right).$$ 原点と $F$ を通る直線の傾きは $(a^3/4)/(11a/8)=2a^2/11$ であるから、$\displaystyle m:y=\frac{2a^2}{11}x$ である。