1聖マリアンナ医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)　 $u=3^x+3^{-x}$ とおくと、$(3^{x/2}-3^{-x/2})^2\geq0$ より $u\geq2$ である。また $$\displaystyle f(x)=3\bigl(3^{2x}+3^{-2x}\bigr)-20u+10=3u^2-20u+4=3\left(u-\frac{10}{3}\right)^2-\frac{88}{3}.$$ $u=10/3$ は範囲 $u\geq2$ 内で実現するので、最小値は $-88/3$ である。$z=3^x>0$ とすると $$\displaystyle z+\frac1z=\frac{10}{3}\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 3z^2-10z+3=0\quad\text{、すなわち}\quad(z-3)(3z-1)=0.$$ 従って $z=3,1/3$、すなわち $x=1,-1$ で最小値をとる。

(2)　 $\theta=\pi t/2$ とおくと、積と合成関数の微分により $$\displaystyle \begin{aligned} x'&=e^{-t}\left(-\cos\theta-\frac{\pi}{2}\sin\theta\right),\\ y'&=e^{-t}\left(-\sin\theta+\frac{\pi}{2}\cos\theta\right). \end{aligned}$$ よって交差項が打ち消し合い、速さは $$\displaystyle \sqrt{(x')^2+(y')^2}=e^{-t}\sqrt{1+\frac{\pi^2}{4}}=\frac{e^{-t}}{2}\sqrt{\pi^2+4}.$$ 従って $[\text{エ}]=\pi^2+4$。$T=\text{オ}$ とすると、$T\geq0$ での道のりは $$\displaystyle \int_0^T\frac{e^{-t}}2\sqrt{\pi^2+4}\,dt=\frac{\sqrt{\pi^2+4}}2(1-e^{-T}).$$ これが問題の値 $\sqrt{\pi^2+4}/4$ に等しいから $e^{-T}=1/2$、よって $T=\log_e 2$ である。