2聖マリアンナ医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

聖さん、マリさんが常用対数表を見て話し合っている。次の会話文のカ〜メにあてはまる適切な数を0〜9から選択し解答用紙の所定の欄に記入せよ。表の値は $\log_{10}1.2=0.0792,\ \log_{10}1.3=0.1139,\ \log_{10}1.4=0.1461,\ \log_{10}1.5=0.1761,\ \log_{10}1.6=0.2041,\ \log_{10}1.7=0.2304,\ \log_{10}1.8=0.2553,\ \log_{10}1.9=0.2788,\ \log_{10}2.0=0.3010,\ \log_{10}5.2=0.7160,\ \log_{10}7.0=0.8451$ である。注：$\log_{10}x$ の値を小数第5位で四捨五入した値。聖「$\log_{10}2.6$ は、$\log_{10}2.6=\log_{10}(1.3\times2)=\log_{10}1.3+\log_{10}2.0$（1）と考えると0.4149になるね。」マリ「ちょっと待って。$\log_{10}2.6=\log_{10}(5.2\div2)=\log_{10}5.2-\log_{10}2.0$（2）と考えると0.4150だよ。結果が一致しないのはなぜだろう？」聖「何でだろうね？…表の右下に『$\log_{10}x$ の値を小数第5位で四捨五入した値』と書いてある。じゃあ、$\log_{10}1.3$ と $\log_{10}2.0$ の正確な値は $0.11385\leq\log_{10}1.3<0.11395$、$0.30\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}\boxed{\text{ク}}\leq\log_{10}2.0<0.30\boxed{\text{ケ}}\boxed{\text{コ}}\boxed{\text{サ}}$ の範囲にあるということかな。これらを利用すると（1）から $\log_{10}2.6$ の正確な値は $0.41\boxed{\text{シ}}\boxed{\text{ス}}\leq\log_{10}2.6<0.41\boxed{\text{セ}}\boxed{\text{ソ}}$ の範囲にあると言えるね。」マリ「（2）からは $0.41\boxed{\text{タ}}\boxed{\text{チ}}<\log_{10}2.6<0.41\boxed{\text{ツ}}\boxed{\text{テ}}$ だね。$\log_{10}2.6$ の正確な値は聖さんの結果との共通部分にあるので、$0.41\boxed{\text{ト}}\boxed{\text{ナ}}<\log_{10}2.6<0.41\boxed{\text{ニ}}\boxed{\text{ヌ}}$ の範囲だね。」聖「次は $2023=7\times17^2$ にちなんで何か調べてみようよ。」マリ「$7^{17^2}=7^{289}$ とか、やたらと大きい数を調べてみるのはどうかな？」聖「よし、$7^{17^2}$ を調べよう。この巨大な数の下2桁は $\boxed{\text{ネノ}}$ だ。下3桁は難しいな。対数を利用すれば上2桁（最高位の数とその隣の数）は求められるよ。」マリ「対数表の $\log_{10}7.0$ の値を用いて $\log_{10}7^{17^2}=289\log_{10}7.0$ を計算すると $289\times0.8451=244.2339$ だね。この値を用いると $7^{17^2}$ は $\boxed{\text{ハヒフ}}$ 桁の整数で、上2桁は $\boxed{\text{ヘホ}}$ だ。」聖「でも $\log_{10}7.0$ の正確な値の範囲を考えると、$289\log_{10}7.0$ の正確な値は $244.21945\leq289\log_{10}7.0<244.24835$ の範囲にあるから、$7^{17^2}$ の上2桁は $\boxed{\text{ヘホ}}$ または $\boxed{\text{マミ}}$ となるね。どっちが正解かな？」マリ「えーっと、ここにある情報だけでは結論は出なさそうだよ。」聖「そう？電卓で答え合わせしてみようか。」マリ「$7^{289}$ を電卓で計算すると…エラーだね。でも $\log_{10}7.0$ なら0.845098…と出るよ。」聖「それなら $7^{17^2}$ の上2桁は $\boxed{\text{ムメ}}$ だね。」